А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
518 упражнение:
Упростить выражение:
1)
\( \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Ответ
Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \) .
Ответ: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
2)
\( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Ответ
Используем формулу тангенса половинного угла: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \) .
Ответ: \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
3)
\( \frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} \)
Ответ
Используем формулы двойного угла: \( 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \) , \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \) , \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) .
Шаг 1: Преобразуем числитель (Ч) и знаменатель (З).\( \text{Ч} = 2 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) \)
\( \text{З} = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \)
Шаг 2: Сократим общие множители.\( \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
Шаг 3: Применим определение тангенса.\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha \)
Ответ: \( \operatorname{tg} \alpha \).
4)
\( \frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \)
Ответ
Используем формулу котангенса половинного угла: \( \operatorname{ctg} \frac{\beta}{2} = \frac{1 + \cos \beta}{\sin \beta} \) . Здесь \( \beta = 4\alpha \), \( \frac{\beta}{2} = 2\alpha \).
Шаг 1: Прямое применение формулы.\( \frac{1 + \cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \operatorname{ctg} \frac{4\alpha}{2} = \operatorname{ctg} 2\alpha \)
Ответ: \( \operatorname{ctg} 2\alpha \).
5)
\( \frac{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)
Ответ
Используем формулы двойного угла: \( 1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \) , \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) .
Шаг 1: Преобразуем числитель (Ч).\( \text{Ч} = 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) \)
Шаг 2: Разделим на знаменатель \( (\sin \alpha + \cos \alpha) \).\( \frac{2 \cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} = 2 \cos \alpha \)
Ответ: \( 2 \cos \alpha \).
6)
\( (1 - \cos 4\alpha) \operatorname{ctg} \alpha \)
Ответ
Используем формулы: \( 1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha \) и \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) , \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) .
Шаг 1: Заменим \( 1 - \cos 4\alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \).\( 2 \sin^2 2\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Шаг 2: Используем \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) для одного множителя \( \sin 2\alpha \).\( 2 \sin 2\alpha \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Шаг 3: Сократим \( \sin \alpha \).\( 2 \sin 2\alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha = 4 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha \)
Ответ: \( 4 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha \).
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
