А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
520 упражнение:
Доказать тождество:
1)
\( \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)
Ответ
Преобразуем ЛЧ. Используем формулу тангенса половинного угла: \( \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \) .
Шаг 1: Применим формулу.\( \text{ЛЧ} = \operatorname{tg} \frac{2\alpha}{2} \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha \)
Шаг 2: Используем основное тождество: \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \) .\( \text{ЛЧ} = 1 = \text{ПЧ} \)
Тождество доказано.
2)
\( \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha \)
Ответ
Преобразуем ЛЧ. Используем формулу тангенса половинного угла: \( \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} = \operatorname{tg} \frac{\beta}{2} \) . Здесь \( \beta = 2\alpha \).
Тождество доказано.
3)
\( \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} \)
Ответ
Преобразуем ЛЧ, используя \( 1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \) . Преобразуем ПЧ, используя \( \frac{1 - \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} - \alpha) \) .
Шаг 1: ЛЧ принимает вид \( \text{ЛЧ} = \frac{\cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} \).Шаг 2: Используем формулы приведения и тангенса половинного угла: \( \cos 2\alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) \) и \( 1 + \sin 2\alpha = 1 + \cos (\frac{\pi}{2} - 2\alpha) \).\( \text{ЛЧ} = \frac{\sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)}{1 + \cos (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)} = \operatorname{tg} \left(\frac{\frac{\pi}{2} - 2\alpha}{2}\right) = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \)
Шаг 3: ПЧ преобразуется к тому же виду: \( \text{ПЧ} = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \).\( \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} \)
Тождество доказано.
4)
\( \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) \)
Ответ
Преобразуем ЛЧ, используя \( 1 + \sin 2\alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 \) и \( \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \) .
Шаг 1: Заменим числитель и знаменатель.\( \text{ЛЧ} = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} \)
Шаг 2: Сократим.\( \text{ЛЧ} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \)
Шаг 3: Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \) и используем формулу тангенса суммы.\( \text{ЛЧ} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} (\frac{\pi}{4} + \alpha) = \text{ПЧ} \)
Тождество доказано.
Что применять при решении
Формулы понижения степени (для косинуса и синуса)
Формулы, позволяющие выразить квадрат косинуса или синуса угла через косинус удвоенного угла. Получены из формулы косинуса двойного угла: \( \cos \alpha = \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \) \( \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \)
Формулы синуса и косинуса половинного угла
Формулы, позволяющие найти синус или косинус половинного угла по известному косинусу целого угла. При использовании этих формул знак выражения определяется четвертью, в которой лежит угол \( \frac{\alpha}{2} \).
\( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \) \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
Формулы тангенса половинного угла
Формулы, позволяющие найти тангенс половинного угла. Тангенс половинного угла можно выразить через синус и косинус целого угла. Для \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \).
\( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Универсальная тригонометрическая подстановка
Формулы, выражающие основные тригонометрические функции \( (\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha) \) через тангенс половинного угла \( \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \).
\( \sin \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \cos \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}} \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 30
Глава
Глава 5
Параграф
§ 30 — Синус, косинус и тангенс половинного угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
