ГДЗ: Упражнение 758 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Функции \( \sin x \) и \( \cos x \) определены для всех действительных чисел.
Шаг 1: Определим область определения для каждого слагаемого. \( D(\sin x) = \mathbb{R} \), \( D(\cos x) = \mathbb{R} \).
Шаг 2: Область определения суммы функций — это пересечение областей определения слагаемых. \( D(y) = D(\sin x) \cap D(\cos x) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R} \).
Ответ: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
2)
\( y = \sin x + \text{tg } x \)
Ответ
Пояснение: Функция \( \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} \) не определена, когда \( \cos x = 0 \).
Шаг 1: Определим область определения для слагаемых. \( D(\sin x) = \mathbb{R} \). \( D(\text{tg } x): \cos x \ne 0 \), что соответствует \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Шаг 2: Область определения суммы функций — это пересечение областей определения слагаемых. \( D(y) = \mathbb{R} \cap \{ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \} = \{ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \} \).
Ответ: \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
3)
\( y = \sqrt{\sin x} \)
Ответ
Пояснение: Выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным: \( \sin x \ge 0 \).
Шаг 2: На единичной окружности синус неотрицателен в первой и второй четвертях. Соответствующие значения угла \( x \) находятся в интервале \( [0; \pi] \) в одном периоде.
Шаг 3: Учтем периодичность функции \( \sin x \) с периодом \( 2\pi \).
Ответ: \( 2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
4)
\( y = \sqrt{\cos x} \)
Ответ
Пояснение: Выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным: \( \cos x \ge 0 \).
Шаг 2: На единичной окружности косинус неотрицателен в первой и четвёртой четвертях. Соответствующие значения угла \( x \) находятся в интервале \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \) в одном периоде.
Шаг 3: Учтем периодичность функции \( \cos x \) с периодом \( 2\pi \).
Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
5)
\( y = \frac{2x}{2 \sin x - 1} \)
Ответ
Пояснение: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( 2 \sin x - 1 \ne 0 \).
Шаг 1: Решим уравнение, когда знаменатель равен нулю: \( 2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \).
Шаг 2: Общие решения уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \): а) \( x_1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Область определения — это все действительные числа, кроме найденных значений.
Ответ: \( x \ne \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x \ne \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
6)
\( y = \frac{\cos x}{2 \sin^2 x - \sin x} \)
Ответ
Пояснение: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( 2 \sin^2 x - \sin x \ne 0 \).
Шаг 1: Разложим знаменатель на множители: \( \sin x (2 \sin x - 1) \ne 0 \).
Шаг 2: Установим, когда каждый множитель равен нулю. а) \( \sin x = 0 \). Решения: \( x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( 2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \). Решения: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Область определения — это все действительные числа, кроме найденных значений.
Ответ: \( x \ne \pi k \), \( x \ne \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x \ne \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Область определения тригонометрических функций
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
