На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 762 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 8 Страницы: 227, 228
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

762 упражнение:

Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку \( [0; 3\pi] \):

1) \( \cos x + \sqrt{3} = 0 \)
Ответ

Пояснение: Сначала решим тригонометрическое уравнение, затем выберем корни, принадлежащие заданному интервалу.

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \cos x = -\sqrt{3} \).
  • Шаг 2: Учтем, что множество значений функции косинус \( \cos x \in [-1; 1] \). Поскольку \( -\sqrt{3} \approx -1.732 \), то \( -\sqrt{3} < -1 \).
  • Шаг 3: Уравнение не имеет решений.

    • Ответ: Уравнение не имеет решений, принадлежащих промежутку \( [0; 3\pi] \).

    2) \( \sqrt{3} - \sin x = 0 \)
    Ответ

    Пояснение: Сначала решим тригонометрическое уравнение, затем выберем корни, принадлежащие заданному интервалу.

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \sin x = \sqrt{3} \).
  • Шаг 2: Учтем, что множество значений функции синус \( \sin x \in [-1; 1] \). Поскольку \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( \sqrt{3} > 1 \).
  • Шаг 3: Уравнение не имеет решений.

    • Ответ: Уравнение не имеет решений, принадлежащих промежутку \( [0; 3\pi] \).

    3) \( 3 \text{tg } x = \sqrt{3} \)
    Ответ

    Пояснение: Сначала решим тригонометрическое уравнение, затем выберем корни, принадлежащие заданному интервалу \( [0; 3\pi] \).

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
  • Шаг 2: Общее решение уравнения:
    \( x = \text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Выберем корни, принадлежащие интервалу \( [0; 3\pi] \).
    \( 0 \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le 3\pi \).
    \( -\frac{\pi}{6} \le \pi k \le 3\pi - \frac{\pi}{6} \).
    \( -\frac{\pi}{6} \le \pi k \le \frac{17\pi}{6} \).
    Разделим на \( \pi \):
    \( -\frac{1}{6} \le k \le \frac{17}{6} \).
    Поскольку \( k \in \mathbb{Z} \), возможные значения \( k = 0, 1, 2 \).
  • Шаг 4: Найдём соответствующие корни:
    \( k = 0: x = \frac{\pi}{6} \).
    \( k = 1: x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \).
    \( k = 2: x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \).

    • Ответ: Корни: \( \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \).

    4) \( \cos x + 1 = 0 \)
    Ответ

    Пояснение: Сначала решим тригонометрическое уравнение, затем выберем корни, принадлежащие заданному интервалу \( [0; 3\pi] \).

  • Шаг 1: Решим уравнение:
    \( \cos x = -1 \).
  • Шаг 2: Общее решение уравнения:
    \( x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
  • Шаг 3: Выберем корни, принадлежащие интервалу \( [0; 3\pi] \).
    \( 0 \le \pi + 2\pi k \le 3\pi \).
    \( -\pi \le 2\pi k \le 2\pi \).
    Разделим на \( 2\pi \):
    \( -\frac{1}{2} \le k \le 1 \).
    Поскольку \( k \in \mathbb{Z} \), возможные значения \( k = 0, 1 \).
  • Шаг 4: Найдём соответствующие корни:
    \( k = 0: x = \pi \).
    \( k = 1: x = \pi + 2\pi = 3\pi \).

    • Ответ: Корни: \( \pi, 3\pi \).

    Что применять при решении

    Область определения тригонометрических функций

    Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
    • \( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
    • \( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
    • \( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

    Множество значений тригонометрических функций

    Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
    • \( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
    • Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)

    Чётность и нечётность функций

    Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
    • Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
    • Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)

    Периодичность тригонометрических функций

    Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
    • Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).

    Формулы понижения степени

    Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
    • \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)
    • \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)

    Синус разности и суммы

    Формулы синуса суммы и разности двух углов.
    • \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
    • \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)

    Не сходится своя задача? Разберём по шагам

    • Формула, подстановка и расчёт
    • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
    • Бесплатно и без регистрации
    Решить задачу Разбор задачи бесплатный

    Другие упражнения из параграфа § VII

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

    Данные параграфа

    К параграфу →
    Глава
    Глава 8
    Параграф
    § VII — Упражнения к главе VII
    Учебник
    Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
    Автор
    Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
    Год
    2025

    Задали работу по этой теме?

    Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

    Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.