ГДЗ: Упражнение 764 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Найдём число пересечений графиков функций \( y_1 = \cos x \) и \( y_2 = x^2 \).
Шаг 1: Построим график \( y_1 = \cos x \). Это периодическая функция, симметричная относительно оси Oy, с максимальным значением 1 и минимальным -1.
Шаг 2: Построим график \( y_2 = x^2 \). Это парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Oy.
Шаг 3: Найдём пересечения. a) Поскольку \( \cos x \le 1 \) и \( x^2 \ge 0 \), то для \( |x| > 1 \) имеем \( x^2 > 1 \), и пересечений нет. б) Рассмотрим интервал \( [-1; 1] \). В этом интервале \( \cos x \) и \( x^2 \) пересекаются в двух точках (одна положительная, одна отрицательная, симметричные). в) \( x=0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( 0^2 = 0 \). Это не корень. г) При \( x \in (0; 1] \), \( \cos x \) убывает от 1, а \( x^2 \) возрастает от 0. Пересечение только одно.
Шаг 4: Благодаря симметрии (обе функции чётные) есть два корня: \( x_1 \in (-1; 0) \) и \( x_2 \in (0; 1) \).
Ответ: Уравнение имеет 2 корня.
2)
\( \sin x = \frac{x}{2} \)
Ответ
Пояснение: Найдём число пересечений графиков функций \( y_1 = \sin x \) и \( y_2 = \frac{x}{2} \).
Шаг 1: Построим график \( y_1 = \sin x \). Это периодическая функция, нечётная, с \( E(y_1) = [-1; 1] \).
Шаг 2: Построим график \( y_2 = \frac{x}{2} \). Это прямая, проходящая через начало координат.
Шаг 3: Найдём пересечения. a) Поскольку \( |\sin x| \le 1 \), решения возможны только когда \( |\frac{x}{2}| \le 1 \), т.е. \( |x| \le 2 \). Область поиска \( x \in [-2; 2] \).
Шаг 4: Рассмотрим интервал \( [-2; 2] \). a) \( x=0 \): \( \sin 0 = 0 \), \( \frac{0}{2} = 0 \). Это один корень. б) При \( x \in (0; 2] \), \( \sin x \) сначала возрастает до 1, затем убывает. \( \frac{x}{2} \) монотонно возрастает от 0 до 1. Пересечение только одно. в) При \( x \in [-2; 0) \), обе функции нечётные, поэтому есть симметричный корень. Пересечение только одно.
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
