1)
Ответ
Шаг 1: Запишем неравенство:
\( 1,5 - 2 \sin^2 \frac{3x}{2} > 0 \). Шаг 2: Преобразуем неравенство:
\( -2 \sin^2 \frac{3x}{2} > -1,5 \).
\( 2 \sin^2 \frac{3x}{2} < 1,5 \).
\( \sin^2 \frac{3x}{2} < \frac{1,5}{2} = \frac{3}{4} \). Шаг 3: Используем формулу понижения степени \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \).
\( \sin^2 \frac{3x}{2} = \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{3x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos 3x}{2} \). Шаг 4: Подставим в неравенство:
\( \frac{1 - \cos 3x}{2} < \frac{3}{4} \).
\( 1 - \cos 3x < \frac{3}{2} \).
\( -\cos 3x < \frac{3}{2} - 1 \implies -\cos 3x < \frac{1}{2} \).
\( \cos 3x > -\frac{1}{2} \). Шаг 5: Решим тригонометрическое неравенство \( \cos \alpha > -\frac{1}{2} \), где \( \alpha = 3x \).
\( -\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k < \alpha < \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k \).
\( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). Шаг 6: Разделим на 3:
\( -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \).
Пояснение: Необходимо найти значения \( x \), при которых \( y > 0 \), то есть \( 1,5 - 2 \sin^2 \frac{3x}{2} > 0 \).
\( 1,5 - 2 \sin^2 \frac{3x}{2} > 0 \).
\( -2 \sin^2 \frac{3x}{2} > -1,5 \).
\( 2 \sin^2 \frac{3x}{2} < 1,5 \).
\( \sin^2 \frac{3x}{2} < \frac{1,5}{2} = \frac{3}{4} \).
\( \sin^2 \frac{3x}{2} = \frac{1 - \cos (2 \cdot \frac{3x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos 3x}{2} \).
\( \frac{1 - \cos 3x}{2} < \frac{3}{4} \).
\( 1 - \cos 3x < \frac{3}{2} \).
\( -\cos 3x < \frac{3}{2} - 1 \implies -\cos 3x < \frac{1}{2} \).
\( \cos 3x > -\frac{1}{2} \).
\( -\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k < \alpha < \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k \).
\( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 3x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
\( -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \)