ГДЗ: Упражнение 770 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \).
Шаг 1: Приравняем функцию к нулю: \( \cos^2 x - \cos x = 0 \).
Шаг 2: Вынесем общий множитель \( \cos x \): \( \cos x (\cos x - 1) = 0 \).
Шаг 3: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. а) \( \cos x = 0 \). Решения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \). Решения: \( x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).
2)
\( y = \cos x - \cos 2x - \sin 3x \)
Ответ
Пояснение: Нули функции — это значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Используем формулу косинуса двойного угла и формулы преобразования суммы в произведение.
Шаг 1: Приравняем функцию к нулю: \( \cos x - \cos 2x - \sin 3x = 0 \).
Шаг 3: Запишем уравнение с использованием формулы синуса тройного угла (или суммы): Это уравнение сложно решить без дополнительных преобразований или численных методов. Проверим очевидные корни. Если \( x=0 \): \( \cos 0 - \cos 0 - \sin 0 = 1 - 1 - 0 = 0 \). \( x = 2\pi k \). Если \( x=\pi \): \( \cos \pi - \cos 2\pi - \sin 3\pi = -1 - 1 - 0 = -2 \ne 0 \). Если \( x=\frac{\pi}{2} \): \( \cos \frac{\pi}{2} - \cos \pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) - (-1) = 2 \ne 0 \).
Шаг 4: Используем трюк: \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \). \( \cos x - (2 \cos^2 x - 1) - \sin 3x = 0 \). \( -2 \cos^2 x + \cos x + 1 - \sin 3x = 0 \).
Шаг 5: Используем сумму \( \sin 3x + \cos 2x - \cos x = 0 \). \( \sin 3x + (2 \cos^2 x - 1) - \cos x = 0 \). Это тригонометрическое уравнение, которое не имеет простого аналитического решения. Принимая во внимание уровень учебника, предполагается, что необходимо использовать преобразование из Шага 2: \( 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} - \sin 3x = 0 \). Используем \( \sin 3x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2} \). \( 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2} = 0 \). \( 2 \sin \frac{3x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2} \right) = 0 \). а) \( \sin \frac{3x}{2} = 0 \). Решения: \( \frac{3x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \). \( \sin \frac{x}{2} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}) \). i) \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2} + 2\pi n \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \). ii) \( \frac{x}{2} = \pi - (\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}) + 2\pi m \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2} + 2\pi m \implies -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \frac{2\pi k}{3} \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi m \), где \( k, n, m \in \mathbb{Z} \).
Что применять при решении
Область определения тригонометрических функций
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
