ГДЗ: Упражнение 763 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку \( [-2\pi; -\pi] \):
1)
\( 1 + 2 \cos x \ge 0 \)
Ответ
Пояснение: Сначала решим тригонометрическое неравенство, затем найдем части решения, принадлежащие заданному интервалу \( [-2\pi; -\pi] \).
Шаг 1: Решим неравенство: \( 2 \cos x \ge -1 \implies \cos x \ge -\frac{1}{2} \).
Шаг 2: Общее решение неравенства \( \cos x \ge -\frac{1}{2} \) имеет вид: \( -\arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k \le x \le \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). Так как \( \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \). Общее решение: \( -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Найдем решения в интервале \( [-2\pi; -\pi] \). Проверим \( k = -1 \): \( -\frac{2\pi}{3} - 2\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} - 2\pi \). \( -\frac{8\pi}{3} \le x \le -\frac{4\pi}{3} \). Интервал: \( [-\frac{8\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}] \).
Пояснение: Сначала решим тригонометрическое неравенство, затем найдем части решения, принадлежащие заданному интервалу \( [-2\pi; -\pi] \).
Шаг 1: Решим неравенство: \( -2 \sin x < -1 \implies \sin x > \frac{1}{2} \).
Шаг 2: Общее решение неравенства \( \sin x > \frac{1}{2} \) имеет вид: \( \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \). \( \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Шаг 3: Найдем решения в интервале \( [-2\pi; -\pi] \). Проверим \( k = -1 \): \( \frac{\pi}{6} - 2\pi < x < \frac{5\pi}{6} - 2\pi \). \( -\frac{11\pi}{6} < x < -\frac{7\pi}{6} \). Интервал: \( (-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}) \).
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
