ГДЗ: Упражнение 769 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 2: Построим график \( y_2 = |x| \). Это «галочка» с вершиной в \( (0, 0) \). \( E(y_2) = [0; +\infty) \).
Шаг 3: Найдём пересечения. Поскольку \( \cos x \le 1 \) и \( |x| \ge 0 \), решения возможны только когда \( |x| \le 1 \). То есть, \( x \in [-1; 1] \).
Шаг 4: В интервале \( [-1; 1] \): а) При \( x=0 \): \( \cos 0 = 1 \), \( |0| = 0 \). Это не корень. б) При \( x \in (0; 1] \), \( \cos x \) убывает от 1 до \( \cos 1 \approx 0.54 \). \( |x| = x \) возрастает от 0 до 1. Пересечение только одно. в) Благодаря симметрии (обе функции чётные), в интервале \( [-1; 0) \) есть симметричный корень. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.
Ответ: Уравнение имеет 2 корня (которые можно найти только приближенно).
2)
\( \sin x = -|x| + 1 \)
Ответ
Пояснение: Найдём число пересечений графиков функций \( y_1 = \sin x \) и \( y_2 = -|x| + 1 \).
Шаг 2: Построим график \( y_2 = -|x| + 1 \). Это «перевернутая галочка» с вершиной в \( (0, 1) \). \( E(y_2) = (-\infty; 1] \).
Шаг 3: Найдём пересечения. a) Максимальное значение обеих функций равно 1. Оно достигается при \( x=0 \): \( y_1(0) = \sin 0 = 0 \). \( y_2(0) = -|0| + 1 = 1 \). То есть, \( x=0 \) не является корнем.
Шаг 4: Рассмотрим интервал \( x > 0 \). \( y_2 = -x + 1 \). \( y_1 = \sin x \). a) При \( x=\frac{\pi}{2} \approx 1.57 \): \( y_1 = 1 \), \( y_2 = -\frac{\pi}{2} + 1 \approx -0.57 \). b) При \( x=1 \): \( y_1 \approx 0.84 \), \( y_2 = 0 \). c) Поскольку \( y_1(0) = 0 < y_2(0) = 1 \) и \( y_1(1) \approx 0.84 > y_2(1) = 0 \), есть один корень \( x_1 \in (0; 1) \).
Шаг 5: Рассмотрим интервал \( x < 0 \). \( y_2 = x + 1 \). a) При \( x=-2\pi \): \( y_1 = 0 \), \( y_2 = -2\pi + 1 \approx -5.28 \). b) При \( x=-\frac{\pi}{2} \approx -1.57 \): \( y_1 = -1 \), \( y_2 = -\frac{\pi}{2} + 1 \approx -0.57 \). c) Поскольку \( y_1(0) = 0 > y_2(0) = 1 \) (неправильно, \( y_1(0) = 0, y_2(0) = 1 \)), \( y_1(-1) \approx -0.84 < y_2(-1) = 0 \). При \( x \in (-1; 0) \), \( y_1 \) убывает от 0 до \( -\sin 1 \), \( y_2 \) возрастает от 0 до 1. Пересечения нет.
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
