ГДЗ: Упражнение 775 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 3: Решим неравенство для \( \sin \alpha > 0 \), где \( \alpha = x - \frac{\pi}{4} \). \( 2\pi k < \alpha < \pi + 2\pi k \). \( 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Шаг 4: Прибавим \( \frac{\pi}{4} \): \( \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \). \( \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
2)
\( \text{tg } x > \sin x \)
Ответ
Пояснение: Приведем неравенство к одной тригонометрической функции \( \sin x \) и разложим на множители. Необходимо учесть ОДЗ \( \cos x \ne 0 \).
Шаг 1: Запишем неравенство и ОДЗ: \( \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x > 0 \). \( \sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) > 0 \). \( \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} > 0 \). ОДЗ: \( x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \).
Шаг 2: Анализ множителей: а) \( 1 - \cos x \ge 0 \) всегда. \( 1 - \cos x = 0 \) только при \( \cos x = 1 \), т.е. \( x = 2\pi n \). В этих точках неравенство нестрогое: \( 0 > 0 \) — неверно. Значит, \( x \ne 2\pi n \). б) \( \sin x \) и \( \cos x \) должны быть одного знака (поскольку дробь \( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \) должна быть положительной, а \( 1 - \cos x > 0 \)).
Шаг 3: Учтем, что \( 1 - \cos x > 0 \) для всех \( x \ne 2\pi n \). Тогда неравенство равносильно \( \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} > 0 \), или \( \frac{\sin x}{\cos x} > 0 \), или \( \text{tg } x > 0 \).
Шаг 4: Решим неравенство \( \text{tg } x > 0 \). \( \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Что применять при решении
Область определения тригонометрических функций
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
