На Горох
Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 766 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Глава 8 Страницы: 227, 228
А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

766 упражнение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) \( y = \cos^4 x - \sin^4 x \)
Ответ

Пояснение: Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество.

  • Шаг 1: Разложим разность квадратов:
    \( y = (\cos^2 x - \sin^2 x) (\cos^2 x + \sin^2 x) \).
  • Шаг 2: Используем тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) и формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).
    \( y = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x \).
  • Шаг 3: Множество значений функции \( \cos 2x \) — это \( [-1; 1] \).

    • Ответ: Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -1.

    2) \( y = \sin (x + \frac{\pi}{4}) \sin (x - \frac{\pi}{4}) \)
    Ответ

    Пояснение: Используем формулу произведения синусов \( \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)) \).

  • Шаг 1: Применим формулу произведения:
    \( y = \frac{1}{2} \left[ \cos\left((x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4})\right) - \cos\left((x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4})\right) \right] \).
  • Шаг 2: Упростим аргументы:
    \( (x + \frac{\pi}{4}) - (x - \frac{\pi}{4}) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \).
    \( (x + \frac{\pi}{4}) + (x - \frac{\pi}{4}) = 2x \).
  • Шаг 3: Подставим и упростим:
    \( y = \frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{2} - \cos 2x) = \frac{1}{2} (0 - \cos 2x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \).
  • Шаг 4: Множество значений \( \cos 2x \) — это \( [-1; 1] \).
    \( 1 \le -\cos 2x \le 1 \).
    \( -\frac{1}{2} \cdot (-1) \ge -\frac{1}{2} \cos 2x \ge -\frac{1}{2} \cdot 1 \).
    \( \frac{1}{2} \ge y \ge -\frac{1}{2} \), или \( -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \).

    • Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{1}{2} \); Наименьшее значение: \( -\frac{1}{2} \).

    3) \( y = 1 - 2 |\sin 3x| \)
    Ответ

    Пояснение: Используем множество значений функции \( |\sin 3x| \).

  • Шаг 1: Множество значений \( \sin 3x \) — это \( [-1; 1] \).
    Множество значений \( |\sin 3x| \) — это \( [0; 1] \), т.е. \( 0 \le |\sin 3x| \le 1 \).
  • Шаг 2: Умножим неравенство на \( -2 \). Знаки неравенства меняются:
    \( -2 \cdot 0 \ge -2 |\sin 3x| \ge -2 \cdot 1 \implies 0 \ge -2 |\sin 3x| \ge -2 \), или \( -2 \le -2 |\sin 3x| \le 0 \).
  • Шаг 3: Прибавим \( 1 \):
    \( 1 - 2 \le 1 - 2 |\sin 3x| \le 1 + 0 \implies -1 \le y \le 1 \).

    • Ответ: Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -1.

    4) \( y = \sin^2 x - 2 \cos^2 x \)
    Ответ

    Пояснение: Приведем выражение к одной тригонометрической функции, используя \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

  • Шаг 1: Заменим \( \cos^2 x \):
    \( y = \sin^2 x - 2 (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x - 2 + 2 \sin^2 x = 3 \sin^2 x - 2 \).
  • Шаг 2: Используем множество значений \( \sin^2 x \): \( 0 \le \sin^2 x \le 1 \).
  • Шаг 3: Умножим на \( 3 \):
    \( 0 \le 3 \sin^2 x \le 3 \).
  • Шаг 4: Вычтем \( 2 \):
    \( 0 - 2 \le 3 \sin^2 x - 2 \le 3 - 2 \implies -2 \le y \le 1 \).

    • Ответ: Наибольшее значение: 1; Наименьшее значение: -2.

    Что применять при решении

    Область определения тригонометрических функций

    Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
    • \( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
    • \( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
    • \( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

    Множество значений тригонометрических функций

    Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
    • \( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
    • Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)

    Чётность и нечётность функций

    Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
    • Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
    • Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)

    Периодичность тригонометрических функций

    Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
    • Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).

    Формулы понижения степени

    Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
    • \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)
    • \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)

    Синус разности и суммы

    Формулы синуса суммы и разности двух углов.
    • \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
    • \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)

    Не сходится своя задача? Разберём по шагам

    • Формула, подстановка и расчёт
    • Числа считает калькулятор, а не нейросеть
    • Бесплатно и без регистрации
    Решить задачу Разбор задачи бесплатный

    Другие упражнения из параграфа § VII

    758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775

    Данные параграфа

    К параграфу →
    Глава
    Глава 8
    Параграф
    § VII — Упражнения к главе VII
    Учебник
    Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
    Автор
    Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
    Год
    2025

    Задали работу по этой теме?

    Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

    Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.