ГДЗ: Упражнение 773 - § VII (Упражнения к главе VII) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Пояснение: График функции \( y = A \sin(x - b) + c \) получается из графика \( y = \sin x \) сдвигами и растяжениями.
Шаг 1: Исходный график — \( y = \sin x \).
Шаг 2: Построим \( y_1 = \sin (x + \frac{\pi}{3}) \). Это сдвиг \( y = \sin x \) влево на \( \frac{\pi}{3} \).
Шаг 3: Построим \( y_2 = 2 \sin (x + \frac{\pi}{3}) \). Это растяжение \( y_1 \) от оси Ox в 2 раза. Множество значений \( [-2; 2] \).
Шаг 4: Построим \( y = 2 \sin (x + \frac{\pi}{3}) - 2 \). Это сдвиг \( y_2 \) вниз на 2. Множество значений \( [-2-2; 2-2] = [-4; 0] \).
Ключевые точки: а) Сдвиг фазы: \( x + \frac{\pi}{3} = 0 \implies x = -\frac{\pi}{3} \). В этой точке \( y = 2 \sin 0 - 2 = -2 \). б) Минимум: \( \sin (x + \frac{\pi}{3}) = -1 \implies y = 2(-1) - 2 = -4 \). в) Максимум: \( \sin (x + \frac{\pi}{3}) = 1 \implies y = 2(1) - 2 = 0 \).
Ответ: График функции \( y = 2 \sin (x + \frac{\pi}{3}) - 2 \) — это синусоида с амплитудой 2, сдвинутая влево на \( \frac{\pi}{3} \) и сдвинутая вниз на 2. \( E(y) = [-4; 0] \).
2)
\( y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x} \)
Ответ
Пояснение: Упростим выражение, используя свойство \( \sqrt{a^2} = |a| \).
Шаг 1: Упростим функцию: \( y = \cos x - \sqrt{\cos^2 x} = \cos x - |\cos x| \).
Шаг 2: Рассмотрим два случая в зависимости от знака \( \cos x \): а) Если \( \cos x \ge 0 \), то \( |\cos x| = \cos x \). \( y = \cos x - \cos x = 0 \). б) Если \( \cos x < 0 \), то \( |\cos x| = -\cos x \). \( y = \cos x - (-\cos x) = 2 \cos x \).
Шаг 3: Опишем график по интервалам: a) На интервалах, где \( \cos x \ge 0 \) (I и IV четверти, \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \)), график функции совпадает с осью Ox: \( y = 0 \). б) На интервалах, где \( \cos x < 0 \) (II и III четверти, \( (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \)), график функции — это удвоенный косинус: \( y = 2 \cos x \). Минимальное значение равно \( 2 \cdot (-1) = -2 \).
Ответ: График состоит из отрезков на оси Ox и "волн" \( y = 2 \cos x \) с минимальным значением -2, лежащих ниже оси Ox.
Что применять при решении
Область определения тригонометрических функций
Область определения (D(y)) — это множество всех значений аргумента x, при которых функция y определена. Для функций \( \text{tg } x \) и \( \text{ctg } x \) существуют ограничения, связанные с нулями знаменателя в их определении через синус и косинус. Для \( \sqrt{f(x)} \) требуется \( f(x) \ge 0 \).
\( D(\sin x) = D(\cos x) = \mathbb{R} \)
\( D(\text{tg } x): x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
\( D(\text{ctg } x): x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z} \)
Множество значений тригонометрических функций
Множество значений (E(y)) — это множество всех значений, которые принимает функция. Основные тригонометрические функции имеют ограниченные множества значений, что позволяет находить их наибольшие и наименьшие значения.
\( E(\sin x) = E(\cos x) = [-1; 1] \)
Для функции \( y = a \sin x + b \cos x \): \( E(y) = [-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}] \)
Чётность и нечётность функций
Функция \( f(x) \) называется чётной, если \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения, и нечётной, если \( f(-x) = -f(x) \).
Чётные: \( \cos x \), \( |x| \), \( x^{2n} \)
Нечётные: \( \sin x \), \( \text{tg } x \), \( \text{ctg } x \), \( x^{2n+1} \)
Периодичность тригонометрических функций
Функция \( f(x) \) называется периодической с периодом \( T > 0 \), если \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \). Наименьший положительный период для \( \sin(ax) \), \( \cos(ax) \) равен \( \frac{2\pi}{|a|} \), а для \( \text{tg}(ax) \), \( \text{ctg}(ax) \) равен \( \frac{\pi}{|a|} \).
Для \( y = f(kx+b) \) период \( T = \frac{T_0}{|k|} \), где \( T_0 \) — основной период \( f(x) \).
Формулы понижения степени
Эти формулы используются для выражения квадратов синуса и косинуса через косинус двойного угла, что упрощает тригонометрические выражения.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
