ГДЗ: Упражнение 14 - Параграф § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

14 упражнение:

Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:

1) \( b_4 = 88 \), \( q = 2 \)

Ответ

Необходимо найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии \( S_5 \), используя формулу суммы \( n \) первых членов: \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \).

Используем формулу \( n \)-го члена: \( b_n = b_1 q^{n-1} \).
Для \( n=4 \): \( b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3 \).
Подставим известные значения \( b_4 = 88 \) и \( q = 2 \):
\( 88 = b_1 \cdot 2^3 \)
\( 88 = b_1 \cdot 8 \)
Разделим обе части на 8:
\( b_1 = \frac{88}{8} = 11 \)

Шаг 2: Найти сумму первых пяти членов \( S_5 \).

Используем формулу суммы первых \( n \) членов для \( n=5 \), \( b_1=11 \) и \( q=2 \):
\( S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{11(1-2^5)}{1-2} \)
Вычислим \( 2^5 \): \( 2^5 = 32 \).
\( S_5 = \frac{11(1-32)}{-1} \)
\( S_5 = \frac{11(-31)}{-1} \)
Сократим минусы:
\( S_5 = 11 \cdot 31 \)
\( S_5 = 341 \)

Ответ: \( S_5 = 341 \).

2) \( b_1 = 11 \), \( b_4 = 88 \)

Ответ

Необходимо найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии \( S_5 \), используя формулу суммы \( n \) первых членов: \( S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \).

Шаг 1: Найти знаменатель \( q \).

Используем формулу \( n \)-го члена: \( b_n = b_1 q^{n-1} \).
Для \( n=4 \): \( b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3 \).
Подставим известные значения \( b_1 = 11 \) и \( b_4 = 88 \):
\( 88 = 11 \cdot q^3 \)
Разделим обе части на 11:
\( q^3 = \frac{88}{11} \)
\( q^3 = 8 \)
Извлечем кубический корень:
\( q = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Шаг 2: Найти сумму первых пяти членов \( S_5 \).

Используем формулу суммы первых \( n \) членов для \( n=5 \), \( b_1=11 \) и \( q=2 \):
\( S_5 = \frac{b_1(1-q^5)}{1-q} = \frac{11(1-2^5)}{1-2} \)
Вычислим \( 2^5 \): \( 2^5 = 32 \).
\( S_5 = \frac{11(1-32)}{-1} \)
\( S_5 = \frac{11(-31)}{-1} \)
Сократим минусы:
\( S_5 = 11 \cdot 31 \)
\( S_5 = 341 \)

Ответ: \( S_5 = 341 \).

Что применять при решении

Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия \( b_1, b_2, \dots, b_n, \dots \) называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя \( q \) меньше единицы, то есть \( |q| < 1 \).

\( |q| < 1 \)

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма \( S \) бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) (где \( |q| < 1 \)) вычисляется по формуле.

\( S = \frac{b_1}{1 - q} \)

Формула n-го члена геометрической прогрессии

n-й член геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) вычисляется по формуле.

\( b_n = b_1 q^{n-1} \)

Признак бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Последовательность, заданная формулой \( n \)-го члена \( b_n \), является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она геометрическая прогрессия и предел \( b_n \) при \( n \to \infty \) равен нулю, что равносильно условию \( |q| < 1 \).

\( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \iff |q| < 1 \)

Другие упражнения из параграфа § 3

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 1
Параграф: § 3 — Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.