ГДЗ: Упражнение 25 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Используем формулу суммы \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) и формулу \( n \)-го члена \( b_n = b_1 q^{n-1} \).

Шаг 1: Запишем систему уравнений.

• \( b_1 + b_3 = 20 \implies b_1 + b_1 q^2 = 20 \implies b_1(1 + q^2) = 20 \) (1)

• \( b_2 + b_4 = \frac{20}{3} \implies b_1 q + b_1 q^3 = \frac{20}{3} \implies b_1 q(1 + q^2) = \frac{20}{3} \) (2)

Шаг 2: Найдем знаменатель \( q \).

• Разделим уравнение (2) на уравнение (1), так как \( b_1 \neq 0 \) (иначе сумма была бы 0) и \( 1+q^2 \neq 0 \):

• \( \frac{b_1 q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{20/3}{20} \)

• После сокращения получим: \( q = \frac{20}{3 \cdot 20} = \frac{1}{3} \)

• Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \). Условие выполняется.

Шаг 3: Найдем первый член \( b_1 \).

• Подставим \( q = \frac{1}{3} \) в уравнение (1): \( b_1\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = 20 \)

• \( b_1\left(1 + \frac{1}{9}\right) = 20 \)

• \( b_1\left(\frac{10}{9}\right) = 20 \)

• Выразим \( b_1 \): \( b_1 = 20 \cdot \frac{9}{10} = 2 \cdot 9 = 18 \)

Шаг 4: Найдем сумму \( S \).

• Используем формулу \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) с \( b_1 = 18 \) и \( q = \frac{1}{3} \):

• \( S = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} \)

• Выполним деление: \( S = 18 \cdot \frac{3}{2} = 9 \cdot 3 = 27 \)

Ответ: \( S = 27 \).

Используем формулу суммы \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) и формулу \( n \)-го члена \( b_n = b_1 q^{n-1} \).

Шаг 1: Запишем систему уравнений.

• \( b_3 - b_5 = 48 \implies b_1 q^2 - b_1 q^4 = 48 \implies b_1 q^2(1 - q^2) = 48 \) (1)

• \( b_1 - b_3 = 16 \implies b_1 - b_1 q^2 = 16 \implies b_1(1 - q^2) = 16 \) (2)

Шаг 2: Найдем знаменатель \( q \).

• Разделим уравнение (1) на уравнение (2), так как \( b_1 \neq 0 \) и \( 1-q^2 \neq 0 \) (иначе \( b_1=b_3 \), что противоречит условию \( b_1 - b_3 = 16 \)):

• \( \frac{b_1 q^2(1 - q^2)}{b_1(1 - q^2)} = \frac{48}{16} \)

• После сокращения получим: \( q^2 = 3 \)

• Отсюда \( q = \pm \sqrt{3} \).

• Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: \( |q| = \sqrt{3} \approx 1,732 \).

• Так как \( |q| > 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей. Вероятно, в условии задачи ошибка или подразумевается, что прогрессия задана как бесконечно убывающая, несмотря на то, что это не так по данным. Если исходить из того, что задача должна иметь решение (т.е. быть бесконечно убывающей), то такой прогрессии не существует. Однако, в учебниках часто встречаются опечатки, поэтому, если допустить, что прогрессия должна быть бесконечно убывающей, но в условии опечатка, мы не можем продолжить корректное решение, так как условие \( |q| < 1 \) не выполняется.

• Внимание: С учетом того, что это задача из раздела "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия", предположим, что в условии опечатка, и прогрессия является сходящейся. Если бы \( q^2 \) было меньше 1 (например, \( q^2 = 1/3 \)), то \( S = 24+8\sqrt{3} \). Но по исходным данным \( q^2 = 3 \), и прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия не является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \sqrt{3} > 1 \). Сумма не существует (или, если строго следовать условию задачи, найти сумму невозможно).