ГДЗ: Упражнение 21 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Прогрессия является бесконечно убывающей, если \( |q| < 1 \).

Пояснение:

• Найдем знаменатель \( q \): \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot (-2)^{n+1}}{5 \cdot (-2)^n} = -2 \)

• Проверим условие: \( |q| = |-2| = 2 \)

• Так как \( 2 \not< 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: Не является, так как \( q = -2 \) и \( |q| > 1 \).

Прогрессия является бесконечно убывающей, если \( |q| < 1 \).

Пояснение:

• Найдем знаменатель \( q \): \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{-5 \cdot 4^{n+1}}{-5 \cdot 4^n} = 4 \)

• Проверим условие: \( |q| = |4| = 4 \)

• Так как \( 4 \not< 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: Не является, так как \( q = 4 \) и \( |q| > 1 \).

Прогрессия является бесконечно убывающей, если \( |q| < 1 \).

Пояснение:

• Из формулы \( b_n = b_1 q^{n-1} \) видно, что знаменатель \( q = -\frac{1}{3} \).

• Проверим условие: \( |q| = \left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)

• Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Является, так как \( q = -\frac{1}{3} \) и \( |q| < 1 \).

Прогрессия является бесконечно убывающей, если \( |q| < 1 \).

Пояснение:

• Из формулы \( b_n = b_1 q^{n-1} \) видно, что знаменатель \( q = -\frac{1}{2} \).

• Проверим условие: \( |q| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)

• Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Является, так как \( q = -\frac{1}{2} \) и \( |q| < 1 \).