ГДЗ: Упражнение 19 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( 6, 1, \frac{1}{6}, \dots \) по формуле: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \).

• Первый член: \( b_1 = 6 \).

• Знаменатель \( q \): \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{6} \).

• Проверим условие сходимости: \( |q| = \frac{1}{6} < 1 \). Прогрессия сходится.

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

• Подставим \( b_1 = 6 \) и \( q = \frac{1}{6} \) в формулу суммы:

• \( S = \frac{6}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} \)

• Разделим: \( S = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} \)

Ответ: \( S = \frac{36}{5} \) или \( 7,2 \).

Необходимо найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( -25, -5, -1, \dots \) по формуле: \( S = \frac{b_1}{1 - q} \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \).

• Первый член: \( b_1 = -25 \).

• Знаменатель \( q \): \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5} \).

• Проверим условие сходимости: \( |q| = \frac{1}{5} < 1 \). Прогрессия сходится.

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

• Подставим \( b_1 = -25 \) и \( q = \frac{1}{5} \) в формулу суммы:

• \( S = \frac{-25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} \)

• Разделим: \( S = -25 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{125}{4} \)

Ответ: \( S = -\frac{125}{4} \) или \( -31,25 \).