ГДЗ: Упражнение 17 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Необходимо вычислить предел последовательности \( \frac{1}{4^n} \) при \( n \to \infty \).

Пояснение:

• Заданная последовательность \( b_n = \frac{1}{4^n} = \left(\frac{1}{4}\right)^n \) является геометрической прогрессией со знаменателем \( q = \frac{1}{4} \).

• Общий вид предела \( \lim_{n \to \infty} q^n \). Известно, что если \( |q| < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \).

• В данном случае \( |q| = \left|\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4} \). Так как \( \frac{1}{4} < 1 \), то предел равен 0.

• \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = 0 \)

Ответ: \( 0 \).

Необходимо вычислить предел последовательности \( (0,2)^n \) при \( n \to \infty \).

Пояснение:

• Это предел геометрической прогрессии со знаменателем \( q = 0,2 \).

• Проверим условие: \( |q| = |0,2| = 0,2 \).

• Так как \( 0,2 < 1 \), то предел равен 0.

• \( \lim_{n \to \infty} (0,2)^n = 0 \)

Ответ: \( 0 \).

Необходимо вычислить предел суммы последовательностей \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right) \).

Пояснение:

• По свойству предела суммы: \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right) = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7^n} \)

• Предел константы: \( \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \).

• Второй предел: \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n \). Знаменатель \( q = \frac{1}{7} \).

• Так как \( |q| = \frac{1}{7} < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = 0 \).

• Окончательный результат: \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{7^n}\right) = 1 + 0 = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

Необходимо вычислить предел последовательности \( \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2} \) при \( n \to \infty \).

Пояснение:

• Представим выражение: \( \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^n \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n \)

• Вынесем константу за знак предела: \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2} = \frac{25}{9} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n \)

• Предел — это предел геометрической прогрессии со знаменателем \( q = \frac{3}{5} \).

• Так как \( |q| = \frac{3}{5} < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = 0 \).

• Окончательный результат: \( \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^{n-2} = \frac{25}{9} \cdot 0 = 0 \)

Ответ: \( 0 \).