ГДЗ: Упражнение 16 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).

Шаг 1: Найти знаменатель \( q \).

• Используем формулу \( q = \frac{b_2}{b_1} \).

• Подставим значения \( b_1 = 40 \) и \( b_2 = -20 \):

• \( q = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2} \)

Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).

• Найдем модуль \( q \): \( |q| = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)

• Сравним с 1:

• Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Является бесконечно убывающей, так как \( q = -\frac{1}{2} \) и \( |q| < 1 \).

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).

Шаг 1: Найти знаменатель \( q \).

• Используем отношение членов прогрессии: \( \frac{b_m}{b_n} = q^{m-n} \).

• Для \( m=11 \) и \( n=7 \): \( \frac{b_{11}}{b_7} = q^{11-7} = q^4 \).

• Подставим известные значения \( b_7 = 12 \) и \( b_{11} = \frac{3}{4} \):

• \( q^4 = \frac{3/4}{12} = \frac{3}{4 \cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \)

• Для нахождения \( q \) извлечем корень четвертой степени:

• \( q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2} \)

Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).

• В обоих случаях \( q = \frac{1}{2} \) или \( q = -\frac{1}{2} \):

• \( |q| = \left|\pm\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)

• Сравним с 1:

• Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Является бесконечно убывающей, так как \( q = \pm \frac{1}{2} \) и \( |q| < 1 \).

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).

Шаг 1: Найти знаменатель \( q \).

• Используем формулу \( q = \frac{b_7}{b_6} \).

• Подставим значения \( b_7 = -30 \) и \( b_6 = 15 \):

• \( q = \frac{-30}{15} = -2 \)

Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).

• Найдем модуль \( q \): \( |q| = |-2| = 2 \)

• Сравним с 1:

• Так как \( 2 \not< 1 \), прогрессия не является бесконечно убывающей.

Ответ: Не является бесконечно убывающей, так как \( q = -2 \) и \( |q| \not< 1 \).

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо, чтобы модуль её знаменателя \( q \) был меньше единицы: \( |q| < 1 \).

Шаг 1: Найти знаменатель \( q \).

• Используем отношение членов прогрессии: \( \frac{b_m}{b_n} = q^{m-n} \).

• Для \( m=10 \) и \( n=5 \): \( \frac{b_{10}}{b_5} = q^{10-5} = q^5 \).

• Подставим известные значения \( b_5 = 9 \) и \( b_{10} = \frac{1}{27} \):

• \( q^5 = \frac{1/27}{9} = \frac{1}{27 \cdot 9} = \frac{1}{243} \)

• Для нахождения \( q \) извлечем корень пятой степени:

• Так как \( 243 = 3^5 \), то \( q = \sqrt[5]{\frac{1}{243}} = \frac{1}{3} \)

Шаг 2: Проверить условие \( |q| < 1 \).

• Найдем модуль \( q \): \( |q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)

• Сравним с 1:

• Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Является бесконечно убывающей, так как \( q = \frac{1}{3} \) и \( |q| < 1 \).