ГДЗ: Упражнение 15 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Последовательность \( 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \dots \) является геометрической прогрессией.

Пояснение:

• Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = 1 \).

• Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5} \)

• Проверим для следующей пары:

• \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/25}{1/5} = \frac{1}{25} \cdot 5 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)

• Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{5} \).

• Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

• \( |q| = \left|\frac{1}{5}\right| = \frac{1}{5} \)

• Так как \( \frac{1}{5} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{5} < 1 \).

Последовательность \( 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \) является геометрической прогрессией.

Пояснение:

• Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = 1 \).

• Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3} \)

• Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \).

• Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

• \( |q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)

• Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).

Последовательность \( -27, -9, -3, \dots \) является геометрической прогрессией.

Пояснение:

• Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = -27 \).

• Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-9}{-27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \)

• Проверим для следующей пары:

• \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

• Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \).

• Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

• \( |q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \)

• Так как \( \frac{1}{3} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \).

Последовательность \( -64, -32, -16, \dots \) является геометрической прогрессией.

Пояснение:

• Найдем первый член \( b_1 \): \( b_1 = -64 \).

• Найдем знаменатель \( q \) как отношение последующего члена к предыдущему:

• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32}{-64} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \)

• Проверим для следующей пары:

• \( q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-16}{-32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \)

• Знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \).

• Проверим условие бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \( |q| < 1 \).

• \( |q| = \left|\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} \)

• Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), то прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Прогрессия является бесконечно убывающей, так как \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \).