ГДЗ: Упражнение 22 - § 3 (Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для нахождения суммы \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) сначала найдем \( b_1 \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \).

• Используем формулу \( b_n = b_1 q^{n-1} \): \( b_8 = b_1 q^7 \).

• Подставим значения: \( \frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^7 \)

• Вычислим \( q^7 \): \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^7 = \frac{2^{3}\sqrt{2}}{2^7} = \frac{8\sqrt{2}}{128} = \frac{\sqrt{2}}{16} \)

• \( \frac{\sqrt{2}}{16} = b_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{16} \). Отсюда: \( b_1 = 1 \)

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

• Проверим сходимость: \( |q| = |\frac{\sqrt{2}}{2}| < 1 \). Сходится.

• \( S = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \)

• Умножим на сопряженное: \( S = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4 - 2} \)

• \( S = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2} \)

Ответ: \( S = 2 + \sqrt{2} \).

Для нахождения суммы \( S = \frac{b_1}{1 - q} \) сначала найдем \( b_1 \).

Шаг 1: Найти первый член \( b_1 \).

• Используем формулу \( b_n = b_1 q^{n-1} \): \( b_4 = b_1 q^3 \).

• Подставим значения: \( \frac{9}{8} = b_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \)

• Вычислим \( q^3 \): \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8} \)

• \( \frac{9}{8} = b_1 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} \). Отсюда: \( b_1 = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)

Шаг 2: Найти сумму \( S \).

• Проверим сходимость: \( |q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| < 1 \). Сходится.

• \( S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \)

• Умножим на сопряженное: \( S = \frac{2\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4 - 3} \)

• \( S = \frac{4\sqrt{3} + 6}{1} = 6 + 4\sqrt{3} \)

Ответ: \( S = 6 + 4\sqrt{3} \).