ГДЗ: Упражнение 1004 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Используем формулу интегрирования степенной функции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). Для \( f(x) = x = x^1 \) первообразная \( F(x) \) равна:

\( F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{1} x dx = F(1) - F(0) \)

\( F(1) = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2} \)

\( F(0) = \frac{0^2}{2} = 0 \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Для \( f(x) = x^2 \) первообразная \( F(x) \) равна:

\( F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{-1}^{2} x^2 dx = F(2) - F(-1) \)

\( F(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \)

\( F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3} \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{-1}^{2} x^2 dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)

Ответ: \( 3 \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Выносим постоянный множитель 3 за знак интеграла и находим первообразную для \( x^2 \):

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{3} 3x^2 dx = F(3) - F(0) \)

\( F(3) = 3^3 = 27 \)

\( F(0) = 0^3 = 0 \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{0}^{3} 3x^2 dx = 27 - 0 = 27 \)

Ответ: \( 27 \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Выносим постоянный множитель 2 за знак интеграла и находим первообразную для \( x \):

\( F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{-1}^{3} 2x dx = F(3) - F(-1) \)

\( F(3) = 3^2 = 9 \)

\( F(-1) = (-1)^2 = 1 \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{-1}^{3} 2x dx = 9 - 1 = 8 \)

Ответ: \( 8 \)