А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
1009 упражнение:
Вычислить интеграл:
1)
\( \int_{1}^{2} \frac{5x - 2}{x^2} dx \)
Ответ
Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде степеней.
\( f(x) = \frac{5x - 2}{x^2} = \frac{5x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = \frac{5}{x} - 2x^{-2} \)
Шаг 2: Нахождение первообразной.
\( F(x) = \int (\frac{5}{x} - 2x^{-2}) dx = 5\ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 5\ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 5\ln|x| + \frac{2}{x} \)
Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{1}^{2} f(x) dx = F(2) - F(1) \)
Вычисляем \( F(2) \):
\( F(2) = 5\ln|2| + \frac{2}{2} = 5\ln 2 + 1 \)
Вычисляем \( F(1) \):
\( F(1) = 5\ln|1| + \frac{2}{1} = 5 \cdot 0 + 2 = 2 \)
Шаг 4: Вычисление.
\( \int_{1}^{2} f(x) dx = (5\ln 2 + 1) - 2 = 5\ln 2 - 1 \)
Ответ: \( 5\ln 2 - 1 \)
2)
\( \int_{1}^{3} \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx \)
Ответ
Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде степеней.
\( f(x) = \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 3x^{1 - \frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 3x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \)
Шаг 2: Нахождение первообразной.
\( F(x) = \int (3x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} = 2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} \)
Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{1}^{3} f(x) dx = F(3) - F(1) \)
Вычисляем \( F(3) \):
\( F(3) = 2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)
Вычисляем \( F(1) \):
\( F(1) = 2 \cdot 1\sqrt{1} - 2\sqrt{1} = 2 - 2 = 0 \)
Шаг 4: Вычисление.
\( \int_{1}^{3} f(x) dx = 4\sqrt{3} - 0 = 4\sqrt{3} \)
Ответ: \( 4\sqrt{3} \)
3)
\( \int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx \)
Ответ
Шаг 1: Перепишем функцию в виде степеней.
\( f(x) = 4(x+2)^{-\frac{1}{2}} \)
Шаг 2: Нахождение первообразной.
Используем правило для интегрирования \( (kx+b)^n \). Здесь \( k=1 \).
\( F(x) = \int 4(x+2)^{-\frac{1}{2}} dx = 4 \cdot \frac{(x+2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 4 \cdot \frac{(x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{x+2} \)
Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{2}^{7} f(x) dx = F(7) - F(2) \)
Вычисляем \( F(7) \):
\( F(7) = 8\sqrt{7+2} = 8\sqrt{9} = 8 \cdot 3 = 24 \)
Вычисляем \( F(2) \):
\( F(2) = 8\sqrt{2+2} = 8\sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16 \)
Шаг 4: Вычисление.
\( \int_{2}^{7} f(x) dx = 24 - 16 = 8 \)
Ответ: \( 8 \)
Что применять при решении
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) — её первообразная на этом отрезке, то определенный интеграл функции f(x) от a до b равен разности значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
\( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(x) \Big|_a^b = F(b) - F(a) \)
Интеграл степенной функции
Правило нахождения первообразной степенной функции.
\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( n \neq -1 \)
Интеграл от 1/x
Первообразная функции обратной пропорциональности.
\( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)
Интеграл от показательной функции
Правило нахождения первообразной показательной функции с основанием e.
\( \int e^x dx = e^x + C \)
Интеграл от тригонометрических функций
Первообразные синуса и косинуса.
\( \int \sin x dx = -\cos x + C \) и \( \int \cos x dx = \sin x + C \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 57
Глава
Глава 10
Параграф
§ 57 — Вычисление интегралов
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
