ГДЗ: Упражнение 1010 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Используем правило для интегрирования \( \frac{1}{kx+b} \): \( \int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C \). Здесь \( k=2 \).

\( F(x) = \int \frac{3}{2x - 1} dx = 3 \cdot \frac{1}{2}\ln|2x - 1| = \frac{3}{2}\ln|2x - 1| \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{2}^{3} f(x) dx = F(3) - F(2) \)

Вычисляем \( F(3) \):

\( F(3) = \frac{3}{2}\ln|2 \cdot 3 - 1| = \frac{3}{2}\ln 5 \)

Вычисляем \( F(2) \):

\( F(2) = \frac{3}{2}\ln|2 \cdot 2 - 1| = \frac{3}{2}\ln 3 \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{2}^{3} f(x) dx = \frac{3}{2}\ln 5 - \frac{3}{2}\ln 3 = \frac{3}{2} (\ln 5 - \ln 3) = \frac{3}{2}\ln\left(\frac{5}{3}\right) \)

Ответ: \( \frac{3}{2}\ln\left(\frac{5}{3}\right) \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Используем правило для интегрирования \( \frac{1}{kx+b} \). Здесь \( k=3 \).

\( F(x) = \int \frac{4}{3x + 2} dx = 4 \cdot \frac{1}{3}\ln|3x + 2| = \frac{4}{3}\ln|3x + 2| \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) \)

Вычисляем \( F(2) \):

\( F(2) = \frac{4}{3}\ln|3 \cdot 2 + 2| = \frac{4}{3}\ln 8 \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = \frac{4}{3}\ln|3 \cdot 0 + 2| = \frac{4}{3}\ln 2 \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{0}^{2} f(x) dx = \frac{4}{3}\ln 8 - \frac{4}{3}\ln 2 = \frac{4}{3} (\ln 8 - \ln 2) = \frac{4}{3}\ln\left(\frac{8}{2}\right) = \frac{4}{3}\ln 4 \)

Ответ: \( \frac{4}{3}\ln 4 \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Используем правило для интегрирования \( \sin(kx+b) \): \( \int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C \). Здесь \( k=2 \).

\( F(x) = -\frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) \)

Вычисляем \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \):

\( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) \)

Используем формулу приведения: \( \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \). Значит, \( \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \)

\( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = -\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)