Вычислить интеграл:
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Используем линейность интеграла и правило для степенной функции:
\( F(x) = \int (2x - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{-1}^{2} (2x - 3) dx = F(2) - F(-1) \)
\( F(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2 \)
\( F(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{-1}^{2} (2x - 3) dx = -2 - 4 = -6 \)
Ответ: \( -6 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
\( F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2 \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx = F(1) - F(-2) \)
\( F(1) = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 5 - 2 = 3 \)
\( F(-2) = 5 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)^2 = -10 - 2 \cdot 4 = -10 - 8 = -18 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx = 3 - (-18) = 3 + 18 = 21 \)
Ответ: \( 21 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
\( F(x) = \int (1 - 3x^2) dx = x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x - x^3 \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx = F(2) - F(-1) \)
\( F(2) = 2 - 2^3 = 2 - 8 = -6 \)
\( F(-1) = (-1) - (-1)^3 = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx = -6 - 0 = -6 \)
Ответ: \( -6 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
\( F(x) = \int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = F(1) - F(0) \)
\( F(1) = \frac{1^3}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \)
\( F(0) = \frac{0^3}{3} + 0 = 0 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3} \)
Ответ: \( \frac{4}{3} \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
\( F(x) = \int (3x^2 - 4x + 5) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx = F(2) - F(0) \)
\( F(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 = 8 - 8 + 10 = 10 \)
\( F(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx = 10 - 0 = 10 \)
Ответ: \( 10 \)
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
