ГДЗ: Упражнение 1008 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Раскрытие скобок и приведение многочлена к стандартному виду.

\( f(x) = x(x+3)(2x-1) = x(2x^2 - x + 6x - 3) = x(2x^2 + 5x - 3) = 2x^3 + 5x^2 - 3x \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{-2}^{1} f(x) dx = F(1) - F(-2) \)

Вычисляем \( F(1) \):

\( F(1) = \frac{1^4}{2} + \frac{5 \cdot 1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\right) + \frac{5}{3} = -1 + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} \)

Вычисляем \( F(-2) \):

\( F(-2) = \frac{(-2)^4}{2} + \frac{5 \cdot (-2)^3}{3} - \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} = \frac{16}{2} + \frac{5 \cdot (-8)}{3} - \frac{3 \cdot 4}{2} = 8 - \frac{40}{3} - 6 = 2 - \frac{40}{3} = \frac{6 - 40}{3} = -\frac{34}{3} \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{-2}^{1} f(x) dx = \frac{2}{3} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{34}{3} = \frac{36}{3} = 12 \)

Ответ: \( 12 \)

Шаг 1: Раскрытие скобок и приведение многочлена к стандартному виду.

\( f(x) = (x+1)(x^2-2) = x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2 \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{-1}^{0} f(x) dx = F(0) - F(-1) \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = 0 \)

Вычисляем \( F(-1) \):

\( F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 + 2 = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{12 + 3 - 4}{12} = \frac{11}{12} \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{-1}^{0} f(x) dx = 0 - \frac{11}{12} = -\frac{11}{12} \)

Ответ: \( -\frac{11}{12} \)

Шаг 1: Раскрытие скобок и приведение функции к сумме степеней.

\( f(x) = (x + \frac{1}{x^2})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = x^2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^4} = x^2 + 2x^{-1} + x^{-4} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (x^2 + 2x^{-1} + x^{-4}) dx = \frac{x^3}{3} + 2\ln|x| + \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^3}{3} + 2\ln|x| + \frac{x^{-3}}{-3} = \frac{x^3}{3} + 2\ln|x| - \frac{1}{3x^3} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{-1}^{1} f(x) dx = F(1) - F(-1) \)

Вычисляем \( F(1) \):

\( F(1) = \frac{1^3}{3} + 2\ln|1| - \frac{1}{3 \cdot 1^3} = \frac{1}{3} + 2 \cdot 0 - \frac{1}{3} = 0 \)

Вычисляем \( F(-1) \):

\( F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + 2\ln|-1| - \frac{1}{3 \cdot (-1)^3} = -\frac{1}{3} + 2 \cdot 0 - \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{-1}^{1} f(x) dx = 0 - 0 = 0 \)

Ответ: \( 0 \)

Шаг 1: Раскрытие скобок и приведение функции к сумме степеней.

\( f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{4}{x^2} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{4}{x^2} - 1 = 4x^{-2} - 1 \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (4x^{-2} - 1) dx = 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - x = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - x = -\frac{4}{x} - x \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{-2}^{-1} f(x) dx = F(-1) - F(-2) \)

Вычисляем \( F(-1) \):

\( F(-1) = -\frac{4}{-1} - (-1) = 4 + 1 = 5 \)

Вычисляем \( F(-2) \):

\( F(-2) = -\frac{4}{-2} - (-2) = 2 + 2 = 4 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{-2}^{-1} f(x) dx = 5 - 4 = 1 \)

Ответ: \( 1 \)