ГДЗ: Упражнение 1011 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применение формулы понижения степени.

Используем тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \).

\( \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная для \( 1 \) — это \( x \).

Первообразная для \( \cos 2x \) — это \( \frac{1}{2}\sin 2x \).

\( F(x) = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin 2x \right) \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = F(\pi) - F(0) \)

Вычисляем \( F(\pi) \):

\( F(\pi) = \frac{1}{2} \left( \pi - \frac{1}{2}\sin (2\pi) \right) = \frac{1}{2} \left( \pi - \frac{1}{2} \cdot 0 \right) = \frac{\pi}{2} \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = \frac{1}{2} \left( 0 - \frac{1}{2}\sin (0) \right) = 0 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} \)

Шаг 1: Применение формулы двойного угла.

Используем тождество: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \), откуда \( \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \).

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin 2x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная для \( \sin 2x \) — это \( -\frac{1}{2}\cos 2x \).

\( F(x) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2}\cos 2x \right) = -\frac{1}{4}\cos 2x \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) \)

Вычисляем \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \):

\( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{4}\cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{4}\cos \pi = -\frac{1}{4} \cdot (-1) = \frac{1}{4} \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = -\frac{1}{4}\cos (2 \cdot 0) = -\frac{1}{4}\cos 0 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4} \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

Шаг 1: Применение формулы двойного угла.

Используем тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \).

\( \int_{0}^{\pi} (\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int_{0}^{\pi} \cos 2x dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная для \( \cos 2x \) — это \( \frac{1}{2}\sin 2x \).

\( F(x) = \frac{1}{2}\sin 2x \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{\pi} \cos 2x dx = F(\pi) - F(0) \)

Вычисляем \( F(\pi) \):

\( F(\pi) = \frac{1}{2}\sin (2\pi) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = \frac{1}{2}\sin (0) = 0 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{0}^{\pi} \cos 2x dx = 0 - 0 = 0 \)

Ответ: \( 0 \)

Шаг 1: Упрощение подынтегральной функции.

Используем тождество для понижения степени:

\( \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2 (\sin x \cos x)^2 \)

Используем формулу \( \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \):

\( \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2 2x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x \)

Используем формулу понижения степени для \( \sin^2 2x \): \( \sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2} \)

\( f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1 - \cos 4x}{4} = \frac{4 - (1 - \cos 4x)}{4} = \frac{3 + \cos 4x}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right) dx = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\sin 4x = \frac{3}{4}x + \frac{1}{16}\sin 4x \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) \)

Вычисляем \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \):

\( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{16}\sin \left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{1}{16}\sin (2\pi) = \frac{3\pi}{8} + 0 = \frac{3\pi}{8} \)

Вычисляем \( F(0) \):

\( F(0) = \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{1}{16}\sin (0) = 0 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \frac{3\pi}{8} - 0 = \frac{3\pi}{8} \)

Ответ: \( \frac{3\pi}{8} \)

Шаг 1: Применение метода подстановки (замены переменной).

Пусть \( t = x+1 \). Тогда \( x = t-1 \), \( x^2 = (t-1)^2 = t^2 - 2t + 1 \), и \( dx = dt \).

Изменяем пределы интегрирования:

Если \( x=0 \), то \( t = 0+1 = 1 \).

Если \( x=3 \), то \( t = 3+1 = 4 \).

Интеграл принимает вид:

\( \int_{1}^{4} (t^2 - 2t + 1)\sqrt{t} dt = \int_{1}^{4} (t^2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 2t \cdot t^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot t^{\frac{1}{2}}) dt = \int_{1}^{4} (t^{\frac{5}{2}} - 2t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}}) dt \)

Шаг 2: Нахождение первообразной по новой переменной.

\( F(t) = \frac{t^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} - 2 \cdot \frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{7}t^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5}t^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{1}^{4} f(t) dt = F(4) - F(1) \)

Вычисляем \( F(4) \): \( t^{\frac{n}{2}} = (\sqrt{t})^n \)

\( F(4) = \frac{2}{7}(\sqrt{4})^7 - \frac{4}{5}(\sqrt{4})^5 + \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{7} \cdot 2^7 - \frac{4}{5} \cdot 2^5 + \frac{2}{3} \cdot 2^3 = \frac{256}{7} - \frac{128}{5} + \frac{16}{3} \)

Приводим к общему знаменателю \( 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105 \):

\( F(4) = \frac{256 \cdot 15 - 128 \cdot 21 + 16 \cdot 35}{105} = \frac{3840 - 2688 + 560}{105} = \frac{1712}{105} \)

Вычисляем \( F(1) \):

\( F(1) = \frac{2}{7} - \frac{4}{5} + \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 15 - 4 \cdot 21 + 2 \cdot 35}{105} = \frac{30 - 84 + 70}{105} = \frac{16}{105} \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{0}^{3} x^2\sqrt{x+1} dx = \frac{1712}{105} - \frac{16}{105} = \frac{1696}{105} \)

Ответ: \( \frac{1696}{105} \)

Шаг 1: Разложение числителя и выделение целой части.

Разделим многочлен в числителе на \( x-2 \):

\( x^2 - 4x + 5 = x(x-2) - 2x + 5 = x(x-2) - 2(x-2) + 4 + 5 = (x-2)^2 + 1 \)

Тогда подынтегральная функция:

\( f(x) = \frac{(x-2)^2 + 1}{x - 2} = \frac{(x-2)^2}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} = (x-2) + \frac{1}{x - 2} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int \left( (x-2) + \frac{1}{x - 2} \right) dx \)

Для \( x-2 \): \( \frac{(x-2)^2}{2} \)

Для \( \frac{1}{x-2} \): \( \ln|x-2| \)

\( F(x) = \frac{(x-2)^2}{2} + \ln|x-2| \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{3}^{4} f(x) dx = F(4) - F(3) \)

Вычисляем \( F(4) \):

\( F(4) = \frac{(4-2)^2}{2} + \ln|4-2| = \frac{2^2}{2} + \ln 2 = 2 + \ln 2 \)

Вычисляем \( F(3) \):

\( F(3) = \frac{(3-2)^2}{2} + \ln|3-2| = \frac{1^2}{2} + \ln 1 = \frac{1}{2} + 0 = 0.5 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{3}^{4} f(x) dx = (2 + \ln 2) - 0.5 = 1.5 + \ln 2 \) или \( \frac{3}{2} + \ln 2 \)

Ответ: \( \frac{3}{2} + \ln 2 \)