Шаг 1: Вычисление определенного интеграла в левой части равенства.
Подынтегральная функция: \( f(x) = b - 4x \). Переменная интегрирования \( x \), а \( b \) считается константой.
Находим первообразную \( F(x) \):
\( F(x) = \int (b - 4x) dx = bx - 4 \cdot \frac{x^2}{2} = bx - 2x^2 \)
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
\( \int_{1}^{b} (b - 4x) dx = F(b) - F(1) \)
Вычисляем \( F(b) \): \( F(b) = b(b) - 2(b)^2 = b^2 - 2b^2 = -b^2 \)
Вычисляем \( F(1) \): \( F(1) = b(1) - 2(1)^2 = b - 2 \)
Левая часть равенства (ЛЧ): \( -b^2 - (b - 2) = -b^2 - b + 2 \)
Шаг 2: Составление и решение уравнения.
Приравниваем ЛЧ к правой части (ПЧ) \( 6 - 5b \):
\( -b^2 - b + 2 = 6 - 5b \)
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( 0 = b^2 + b - 5b + 6 - 2 \)
\( 0 = b^2 - 4b + 4 \)
Шаг 3: Нахождение корней уравнения.
Полученное квадратное уравнение \( b^2 - 4b + 4 = 0 \) является полным квадратом:
\( (b - 2)^2 = 0 \)
Единственный корень: \( b = 2 \)
Шаг 4: Проверка условия.
По условию задачи, необходимо найти числа \( b > 1 \).
Найденное значение \( b=2 \) удовлетворяет условию \( 2 > 1 \).
Ответ: \( b = 2 \)