ГДЗ: Упражнение 1007 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Перепишем функцию в виде степеней.

\( f(x) = x - 3x^{\frac{1}{2}} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (x - 3x^{\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{x^2}{2} - 2 x\sqrt{x} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{1}^{4} (x - 3\sqrt{x}) dx = F(4) - F(1) \)

\( F(4) = \frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4\sqrt{4} = \frac{16}{2} - 2 \cdot 4 \cdot 2 = 8 - 16 = -8 \)

\( F(1) = \frac{1^2}{2} - 2 \cdot 1\sqrt{1} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{1}^{4} (x - 3\sqrt{x}) dx = -8 - \left(-\frac{3}{2}\right) = -8 + 1.5 = -6.5 \) или \( -\frac{13}{2} \)

Ответ: \( -\frac{13}{2} \)

Шаг 1: Перепишем функцию в виде степеней.

\( f(x) = 2x - 3x^{-\frac{1}{2}} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (2x - 3x^{-\frac{1}{2}}) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = x^2 - 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = x^2 - 6\sqrt{x} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{4}^{9} (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = F(9) - F(4) \)

\( F(9) = 9^2 - 6\sqrt{9} = 81 - 6 \cdot 3 = 81 - 18 = 63 \)

\( F(4) = 4^2 - 6\sqrt{4} = 16 - 6 \cdot 2 = 16 - 12 = 4 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{4}^{9} (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = 63 - 4 = 59 \)

Ответ: \( 59 \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Используем правило интегрирования для функции \( e^{kx} \): \( \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Здесь \( k=3 \).

\( F(x) = \frac{1}{3} e^{3x} \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{1} e^{3x} dx = F(1) - F(0) \)

\( F(1) = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 1} = \frac{e^3}{3} \)

\( F(0) = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} = \frac{1}{3} e^0 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{0}^{1} e^{3x} dx = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{e^3 - 1}{3} \)

Ответ: \( \frac{e^3 - 1}{3} \)

Шаг 1: Нахождение первообразной.

Используем правило интегрирования для функции \( e^{kx} \): \( \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Здесь \( k=2 \).

\( F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} \)

Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{0}^{2} e^{2x} dx = F(2) - F(0) \)

\( F(2) = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 2} = \frac{e^4}{2} \)

\( F(0) = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2} e^0 = \frac{1}{2} \)

Шаг 3: Вычисление.

\( \int_{0}^{2} e^{2x} dx = \frac{e^4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^4 - 1}{2} \)

Ответ: \( \frac{e^4 - 1}{2} \)