Вычислить интеграл:
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Для \( f(x) = \frac{1}{x} \) первообразная \( F(x) \) равна:
\( F(x) = \ln|x| \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = F(e) - F(1) \)
\( F(e) = \ln|e| = \ln e = 1 \)
\( F(1) = \ln|1| = \ln 1 = 0 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1 - 0 = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Для \( f(x) = e^x \) первообразная \( F(x) \) равна:
\( F(x) = e^x \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{0}^{\ln 2} e^x dx = F(\ln 2) - F(0) \)
\( F(\ln 2) = e^{\ln 2} = 2 \)
\( F(0) = e^0 = 1 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{0}^{\ln 2} e^x dx = 2 - 1 = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Для \( f(x) = \cos x \) первообразная \( F(x) \) равна:
\( F(x) = \sin x \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{0}^{2\pi} \cos x dx = F(2\pi) - F(0) \)
\( F(2\pi) = \sin(2\pi) = 0 \)
\( F(0) = \sin(0) = 0 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{0}^{2\pi} \cos x dx = 0 - 0 = 0 \)
Ответ: \( 0 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Для \( f(x) = \sin x \) первообразная \( F(x) \) равна:
\( F(x) = -\cos x \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{-\pi}^{0} \sin x dx = F(0) - F(-\pi) \)
\( F(0) = -\cos(0) = -1 \)
\( F(-\pi) = -\cos(-\pi) \). Так как косинус - четная функция, \( \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1 \). Значит, \( F(-\pi) = -(-1) = 1 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{-\pi}^{0} \sin x dx = -1 - 1 = -2 \)
Ответ: \( -2 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Используем правило интегрирования для функции \( \sin(kx) \): \( \int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C \). Здесь \( k=2 \).
\( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{0}^{\pi} \sin 2x dx = F(\pi) - F(0) \)
\( F(\pi) = -\frac{1}{2} \cos(2\pi) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \)
\( F(0) = -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(0) = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{0}^{\pi} \sin 2x dx = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \)
Ответ: \( 0 \)
Шаг 1: Нахождение первообразной.
Используем правило интегрирования для функции \( \cos(kx) \): \( \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C \). Здесь \( k=3 \).
\( F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x) \)
Шаг 2: Применение формулы Ньютона-Лейбница.
\( \int_{-3\pi}^{3\pi} \cos 3x dx = F(3\pi) - F(-3\pi) \)
\( F(3\pi) = \frac{1}{3} \sin(3 \cdot 3\pi) = \frac{1}{3} \sin(9\pi) = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0 \)
\( F(-3\pi) = \frac{1}{3} \sin(3 \cdot (-3\pi)) = \frac{1}{3} \sin(-9\pi) \). Так как \( \sin(-x) = -\sin x \) и \( \sin(9\pi) = 0 \), то \( F(-3\pi) = 0 \)
Шаг 3: Вычисление.
\( \int_{-3\pi}^{3\pi} \cos 3x dx = 0 - 0 = 0 \)
Ответ: \( 0 \)
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
