ГДЗ: Упражнение 1063 - § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, так, чтобы:
1)
последней была цифра 3;
Ответ
Мы составляем пятизначное число из 5 различных цифр. Если последняя цифра фиксирована (цифра 3), то остается 4 цифры (\( 1, 2, 4, 5 \)) для заполнения 4 оставшихся позиций. Порядок этих 4 цифр важен.
Фиксация: Последняя позиция занята цифрой 3 (1 способ).
5)
первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;
Ответ
Задача состоит из двух независимых частей: 1) расположение цифр 3 и 4 на первых двух позициях и 2) расположение оставшихся 3 цифр на оставшихся 3 позициях. Используется правило произведения.
Шаг 1: Число способов расстановки 3 и 4 на первых двух местах: \( P_2 = 2! = 2 \cdot 1 = 2 \).
Шаг 2: Оставшиеся 3 цифры (\( 1, 2, 5 \)) могут быть переставлены на последних трех местах \( P_3 \) способами. \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).
Расчёт: Общее число способов: \( P_2 \cdot P_3 = 2 \cdot 6 = 12 \)
Ответ: 12 чисел
6)
последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?
Ответ
Задача состоит из двух независимых частей: 1) расположение оставшихся 3 цифр на первых трех позициях и 2) расположение цифр 1 и 2 на последних двух позициях. Используется правило произведения.
Шаг 1: Оставшиеся 3 цифры (\( 3, 4, 5 \)) могут быть переставлены на первых трех местах \( P_3 \) способами. \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).
Шаг 2: Число способов расстановки 1 и 2 на последних двух местах: \( P_2 = 2! = 2 \cdot 1 = 2 \).
Расчёт: Общее число способов: \( P_3 \cdot P_2 = 6 \cdot 2 = 12 \)
Ответ: 12 чисел
Что применять при решении
Число перестановок из n элементов
Число перестановок \( P_n \) из \( n \) различных элементов – это количество способов, которыми эти элементы могут быть расположены в определённом порядке. Каждая такая перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.
Произведение первых \( n \) натуральных чисел обозначают \( n! \) (читается «эн факториал»). Число перестановок \( P_n \) равно \( n! \). По определению, \( 1! = 1 \).
\( P_n = n! \)
Упрощение выражений с факториалами
Основное свойство факториала, используемое для упрощения и решения уравнений: факториал числа можно представить как произведение самого числа на факториал предыдущего числа.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
