ГДЗ: Упражнение 1070 - Параграф § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1070 упражнение:

Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 4, можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7 и 9?

1)

Ответ

Условие кратности 4: Число кратно 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, кратно 4. Доступные цифры: \( \{1, 3, 5, 6, 7, 9\} \).

Шаг 1: Определим все пары цифр (десятки и единицы) из данного набора, которые делятся на 4:
16, 36, 56, 76, 96. (5 вариантов)
Шаг 2: Для каждой из 5 пар последние две позиции (десятки и единицы) фиксированы (1 способ).
Шаг 3: Оставшиеся \( 6 - 2 = 4 \) цифры должны быть расположены на 4 оставшихся позициях.
Число способов: \( P_4 \).
Расчёт: Общее число способов = (Число вариантов последних двух цифр) \( \cdot \) (Число перестановок оставшихся 4 цифр).
\( 5 \cdot P_4 = 5 \cdot 4! = 5 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 5 \cdot 24 = 120 \)

Ответ: 120 чисел

Что применять при решении

Число перестановок из n элементов

Число перестановок \( P_n \) из \( n \) различных элементов – это количество способов, которыми эти элементы могут быть расположены в определённом порядке. Каждая такая перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.

\( P_n = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)

Факториал

Произведение первых \( n \) натуральных чисел обозначают \( n! \) (читается «эн факториал»). Число перестановок \( P_n \) равно \( n! \). По определению, \( 1! = 1 \).

\( P_n = n! \)

Упрощение выражений с факториалами

Основное свойство факториала, используемое для упрощения и решения уравнений: факториал числа можно представить как произведение самого числа на факториал предыдущего числа.

\( n! = n \cdot (n-1)! \)

Другие упражнения из параграфа § 61

1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 61 — Перестановки
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.