ГДЗ: Упражнение 1071 - Параграф § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1071 упражнение:

Имеются 8 книг, среди которых:

1) 6 книг различных авторов и двухтомник одного автора, книг которого не было среди предыдущих шести книг. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Ответ

Общее число книг 8. Двухтомник должен стоять рядом. Объединяем 2 книги двухтомника в один неделимый блок.
Книги для перестановки: 6 отдельных книг + 1 блок (двухтомник) = 7 элементов.

Шаг 1: Расстановка 7 элементов (перестановка): \( P_7 \).
\( P_7 = 7! = 5040 \).
Шаг 2: Внутренняя перестановка книг в блоке (двухтомник): 2 книги могут быть расставлены в порядке Том 1 - Том 2 или Том 2 - Том 1.
Число способов: \( P_2 = 2! = 2 \).
Расчёт: Общее число способов: \( P_7 \cdot P_2 = 5040 \cdot 2 = 10080 \)

Ответ: 10 080 способами

2) 5 книг различных авторов и трёхтомник шестого автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Ответ

Общее число книг 8. Трёхтомник должен стоять рядом. Объединяем 3 книги трёхтомника в один неделимый блок.
Книги для перестановки: 5 отдельных книг + 1 блок (трёхтомник) = 6 элементов.

Шаг 1: Расстановка 6 элементов (перестановка): \( P_6 \).
\( P_6 = 6! = 720 \).
Шаг 2: Внутренняя перестановка книг в блоке (трёхтомник): 3 книги могут быть расставлены \( P_3 \) способами.
Число способов: \( P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \).
Расчёт: Общее число способов: \( P_6 \cdot P_3 = 720 \cdot 6 = 4320 \)

Ответ: 4320 способами

Что применять при решении

Число перестановок из n элементов

Число перестановок \( P_n \) из \( n \) различных элементов – это количество способов, которыми эти элементы могут быть расположены в определённом порядке. Каждая такая перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.

\( P_n = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)

Факториал

Произведение первых \( n \) натуральных чисел обозначают \( n! \) (читается «эн факториал»). Число перестановок \( P_n \) равно \( n! \). По определению, \( 1! = 1 \).

\( P_n = n! \)

Упрощение выражений с факториалами

Основное свойство факториала, используемое для упрощения и решения уравнений: факториал числа можно представить как произведение самого числа на факториал предыдущего числа.

\( n! = n \cdot (n-1)! \)

Другие упражнения из параграфа § 61

1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 61 — Перестановки
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.