ГДЗ: Упражнение 1067 - § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Заменим перестановки факториалами и используем свойство \( (n+1)! = (n+1) \cdot n! \).

• Преобразование: \( \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{4} \)
• Упрощение: \( \frac{1}{n+1} = \frac{1}{4} \)
• Решение: \( n+1 = 4 \Rightarrow n = 3 \)
• Проверка: При \( n=3 \), все факториалы определены.

Ответ: \( n=3 \)

Заменим перестановки факториалами и используем свойство \( (n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n! \).

• Преобразование: \( \frac{(n+2)!}{n!} = 56 \Rightarrow \frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 56 \)
• Упрощение: \( (n+2)(n+1) = 56 \)
• Решение:
  \( n^2 + 3n + 2 = 56 \Rightarrow n^2 + 3n - 54 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 3^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225 \).
  \( n = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 \pm 15}{2} \)
• Получаем корни: \( n_1 = \frac{12}{2} = 6 \); \( n_2 = \frac{-18}{2} = -9 \).
• Так как \( n \) должно быть натуральным числом, корень \( n=-9 \) отбрасываем.

Ответ: \( n=6 \)

Заменим перестановки факториалами. Условие: \( n \geq 2 \). Разложим числитель \( n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! \).

• Преобразование: \( \frac{n!}{(n-2)!} = 20 \Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} = 20 \)
• Упрощение: \( n(n-1) = 20 \Rightarrow n^2 - n - 20 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \).
  \( n = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \)
• Получаем корни: \( n_1 = \frac{10}{2} = 5 \); \( n_2 = \frac{-8}{2} = -4 \).
• Так как \( n \) должно быть натуральным числом и \( n \geq 2 \), корень \( n=-4 \) отбрасываем.

Ответ: \( n=5 \)

Заменим перестановки факториалами. Условие: \( n-1 \geq 0 \), то есть \( n \geq 1 \). Разложим числитель \( (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \).

• Преобразование: \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 12 \Rightarrow \frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!} = 12 \)
• Упрощение: \( n(n+1) = 12 \Rightarrow n^2 + n - 12 = 0 \)
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).
  \( n = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \)
• Получаем корни: \( n_1 = \frac{6}{2} = 3 \); \( n_2 = \frac{-8}{2} = -4 \).
• Так как \( n \) должно быть натуральным числом и \( n \geq 1 \), корень \( n=-4 \) отбрасываем.

Ответ: \( n=3 \)