ГДЗ: Упражнение 1064 - Параграф § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1064 упражнение:

Упростить форму записи выражений (полагая, что \( k \) — натуральное число, \( k > 4 \)):

1) \( 6! \cdot 7 \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( n! \cdot (n+1) = (n+1)! \). Здесь \( n=6 \).

Упрощение: \( 6! \cdot 7 = 7! \)

Ответ: \( 7! \)

2) \( 10! \cdot 11 \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( n! \cdot (n+1) = (n+1)! \). Здесь \( n=10 \).

Упрощение: \( 10! \cdot 11 = 11! \)

Ответ: \( 11! \)

3) \( 15 \cdot 14! \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( n \cdot (n-1)! = n! \). Здесь \( n=15 \).

Упрощение: \( 15 \cdot 14! = 15! \)

Ответ: \( 15! \)

4) \( 12 \cdot 11! \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( n \cdot (n-1)! = n! \). Здесь \( n=12 \).

Упрощение: \( 12 \cdot 11! = 12! \)

Ответ: \( 12! \)

5) \( k! (k + 1) \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( n! \cdot (n+1) = (n+1)! \). Здесь \( n=k \).

Упрощение: \( k! (k + 1) = (k+1)! \)

Ответ: \( (k+1)! \)

6) \( (k - 1)! k \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( (n-1)! \cdot n = n! \). Здесь \( n=k \).

Упрощение: \( (k - 1)! k = k! \)

Ответ: \( k! \)

7) \( k! (k - 1) k (k + 1) \)

Ответ

Просто перемножим скобки и переставим сомножители для более удобной записи. Выражение не упрощается до одного факториала.

Упрощение: \( k! (k - 1) k (k + 1) = k! \cdot k \cdot (k+1) \cdot (k-1) = k \cdot (k^2 - 1) \cdot k! \)

Ответ: \( k! \cdot k \cdot (k+1) \cdot (k-1) \)

8) \( (k - 2)! (k - 1) k \)

Ответ

Используем свойство факториала: \( n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! \). Здесь \( n=k \).

Упрощение: \( (k - 2)! (k - 1) k = k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2)! = k! \)

Ответ: \( k! \)

9) \( k! (k^2 - 5k + 6) \)

Ответ

Разложим квадратный трёхчлен на множители: \( k^2 - 5k + 6 = (k-2)(k-3) \). Выражение не упрощается до одного факториала.

Упрощение: \( k! (k^2 - 5k + 6) = k! (k - 2) (k - 3) \)

Ответ: \( k! (k - 2) (k - 3) \)

10) \( (k - 3)! (k^2 - 3k + 2) \)

Ответ

Разложим квадратный трёхчлен на множители: \( k^2 - 3k + 2 = (k-1)(k-2) \). Теперь переставим сомножители.

Упрощение: \( (k - 3)! (k - 1) (k - 2) = (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot (k - 3)! \)
Заметим, что \( (k-2)! = (k-2) \cdot (k-3)! \).
Тогда выражение равно: \( (k - 1) \cdot (k - 2)! \)
Заметим, что \( (k-1)! = (k-1) \cdot (k-2)! \).
Таким образом, выражение упрощается до \( (k-1)! \).

Ответ: \( (k - 1)! \)

Что применять при решении

Число перестановок из n элементов

Число перестановок \( P_n \) из \( n \) различных элементов – это количество способов, которыми эти элементы могут быть расположены в определённом порядке. Каждая такая перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.

\( P_n = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)

Факториал

Произведение первых \( n \) натуральных чисел обозначают \( n! \) (читается «эн факториал»). Число перестановок \( P_n \) равно \( n! \). По определению, \( 1! = 1 \).

\( P_n = n! \)

Упрощение выражений с факториалами

Основное свойство факториала, используемое для упрощения и решения уравнений: факториал числа можно представить как произведение самого числа на факториал предыдущего числа.

\( n! = n \cdot (n-1)! \)

Другие упражнения из параграфа § 61

1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 61 — Перестановки
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.