ГДЗ: Упражнение 1065 - Параграф § 61 (Перестановки) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1065 упражнение:

Найти значение выражения:

1) \( \frac{26!}{25!} \)

Ответ

Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Разложим числитель так, чтобы можно было сократить знаменатель.

Преобразование: \( \frac{26!}{25!} = \frac{26 \cdot 25!}{25!} \)
Сокращение: \( 26 \)

Ответ: 26

2) \( \frac{32!}{31!} \)

Ответ

Используем свойство \( n! = n \cdot (n-1)! \). Разложим числитель так, чтобы можно было сократить знаменатель.

Преобразование: \( \frac{32!}{31!} = \frac{32 \cdot 31!}{31!} \)
Сокращение: \( 32 \)

Ответ: 32

3) \( \frac{12!}{10!} \)

Ответ

Разложим числитель, пока не получим \( 10! \), а затем сократим.

Преобразование: \( \frac{12!}{10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!} \)
Сокращение: \( 12 \cdot 11 = 132 \)

Ответ: 132

4) \( \frac{14!}{12!} \)

Ответ

Разложим числитель, пока не получим \( 12! \), а затем сократим.

Преобразование: \( \frac{14!}{12!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} \)
Сокращение: \( 14 \cdot 13 = 182 \)

Ответ: 182

5) \( \frac{5! \cdot 3!}{7!} \)

Ответ

Разложим знаменатель \( 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! \) и сократим \( 5! \). Затем вычислим оставшееся выражение.

Преобразование: \( \frac{5! \cdot 3!}{7!} = \frac{5! \cdot 3!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{3!}{42} \)
Вычисление: \( \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7} \)

Ответ: \( \frac{1}{7} \)

6) \( \frac{6! \cdot 4!}{8!} \)

Ответ

Разложим знаменатель \( 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6! \) и сократим \( 6! \). Затем вычислим оставшееся выражение.

Преобразование: \( \frac{6! \cdot 4!}{8!} = \frac{6! \cdot 4!}{8 \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{4!}{56} \)
Вычисление: \( \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{56} = \frac{24}{56} \)
Сокращение: Сократим дробь на 8: \( \frac{24 \div 8}{56 \div 8} = \frac{3}{7} \)

Ответ: \( \frac{3}{7} \)

7) \( \frac{10!}{8! \cdot 2!} \)

Ответ

Разложим числитель \( 10! = 10 \cdot 9 \cdot 8! \) и сократим \( 8! \).

Преобразование: \( \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2!} \)
Вычисление: \( \frac{90}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45 \)

Ответ: 45

8) \( \frac{11!}{9! \cdot 2!} \)

Ответ

Разложим числитель \( 11! = 11 \cdot 10 \cdot 9! \) и сократим \( 9! \).

Преобразование: \( \frac{11!}{9! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10}{2!} \)
Вычисление: \( \frac{110}{2 \cdot 1} = \frac{110}{2} = 55 \)

Ответ: 55

Что применять при решении

Число перестановок из n элементов

Число перестановок \( P_n \) из \( n \) различных элементов – это количество способов, которыми эти элементы могут быть расположены в определённом порядке. Каждая такая перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.

\( P_n = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \)

Факториал

Произведение первых \( n \) натуральных чисел обозначают \( n! \) (читается «эн факториал»). Число перестановок \( P_n \) равно \( n! \). По определению, \( 1! = 1 \).

\( P_n = n! \)

Упрощение выражений с факториалами

Основное свойство факториала, используемое для упрощения и решения уравнений: факториал числа можно представить как произведение самого числа на факториал предыдущего числа.

\( n! = n \cdot (n-1)! \)

Другие упражнения из параграфа § 61

1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 11
Параграф: § 61 — Перестановки
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.