ГДЗ: Упражнение 208 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 4, используя свойство \( a^0 = 1 \) для \( a \ne 0 \):
\( 4^{x-1} = 4^0 \)
Шаг 2: Так как основания равны (и \( 4 \ne 1, 4 > 0 \)), приравниваем показатели:
\( x - 1 = 0 \)
Шаг 3: Решаем линейное уравнение:
\( x = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
2)
\( 0,3^{3x-2} = 1 \)
Ответ
Шаг 1: Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 0,3:
\( 0,3^{3x-2} = 0,3^0 \)
Шаг 2: Приравниваем показатели:
\( 3x - 2 = 0 \)
Шаг 3: Решаем линейное уравнение:
\( 3x = 2 \)
\( x = \frac{2}{3} \)
Ответ: \( x = \frac{2}{3} \)
3)
\( 2^{2x} = 2^4 \sqrt{3} \)
Ответ
Примечание: В правой части \( 2^4 \sqrt{3} \) не является степенью 2 с рациональным показателем. Если предположить, что в условии опечатка, и уравнение должно быть \( 2^{2x} = 2^4 \cdot 2^{\sqrt{3}} \), то есть \( 2^{2x} = 2^{4+\sqrt{3}} \). Однако, следуя буквальному условию:
Шаг 1: Выражаем \( x \) с использованием логарифма по основанию 2:
\( 2x = \log_2 (2^4 \sqrt{3}) \)
Шаг 2: Используем свойства логарифмов \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \) и \( \log_a a^k = k \):
\( 2x = \log_2 2^4 + \log_2 \sqrt{3} \)
\( 2x = 4 + \log_2 3^{1/2} \)
\( 2x = 4 + \frac{1}{2} \log_2 3 \)
Шаг 3: Решаем относительно \( x \):
\( x = \frac{1}{2} \left(4 + \frac{1}{2} \log_2 3\right) \)
Шаг 1: Основания степеней равны \( \frac{1}{3} \). Приравниваем показатели:
\( 3x = -2 \)
Шаг 2: Решаем линейное уравнение:
\( x = -\frac{2}{3} \)
Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
