ГДЗ: Упражнение 227 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Доказать, что уравнение имеет только один корень \( x = 1 \).
1)
\( 4^x + 25^x = 29 \)
Ответ
Шаг 1: Проверка корня \( x = 1 \):
Подставим \( x = 1 \) в уравнение: \( 4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29 \).
Левая часть равна правой части. Следовательно, \( x = 1 \) является корнем.
Шаг 2: Анализ функции \( f(x) = 4^x + 25^x \):
Функция \( f(x) \) является суммой двух показательных функций \( 4^x \) и \( 25^x \).
Показательная функция \( a^x \) (где \( a > 1 \)) является строго возрастающей на всей числовой оси.
Сумма строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией.
Шаг 3: Вывод об единственности корня:
Уравнение имеет вид \( f(x) = C \), где \( C = 29 \).
Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз.
Следовательно, корень \( x = 1 \) является единственным решением уравнения.
Ответ: Доказано, что \( x = 1 \) является единственным корнем, так как функция \( f(x) = 4^x + 25^x \) является строго возрастающей.
2)
\( 7^x + 18^x = 25 \)
Ответ
Шаг 1: Проверка корня \( x = 1 \):
Подставим \( x = 1 \) в уравнение: \( 7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25 \).
Левая часть равна правой части. Следовательно, \( x = 1 \) является корнем.
Шаг 2: Анализ функции \( g(x) = 7^x + 18^x \):
Функция \( g(x) \) является суммой двух показательных функций \( 7^x \) и \( 18^x \).
Поскольку основания \( 7 > 1 \) и \( 18 > 1 \), обе функции являются строго возрастающими.
Сумма строго возрастающих функций \( g(x) \) также является строго возрастающей функцией на всей числовой оси.
Шаг 3: Вывод об единственности корня:
Уравнение имеет вид \( g(x) = C \), где \( C = 25 \).
Строго возрастающая функция может принимать свое значение \( C \) не более одного раза.
Поскольку найден корень \( x = 1 \), он является единственным решением уравнения.
Ответ: Доказано, что \( x = 1 \) является единственным корнем, так как функция \( g(x) = 7^x + 18^x \) является строго возрастающей.
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
