ГДЗ: Упражнение 223 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Приведем все к основанию 2, заметив, что \( 4^x = (2^x)^2 \):

• \( 8 \cdot (2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 1 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену: \( y = 2^x \), где \( y > 0 \).

• \( 8 y^2 - 6y + 1 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4(8)(1) = 36 - 32 = 4 \)
• Корни: \( y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{16} = \frac{6 \pm 2}{16} \)
• \( y_1 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \); \( y_2 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \). Оба корня положительны.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

• Случай 1: \( 2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x_1 = -1 \)
• Случай 2: \( 2^x = \frac{1}{4} \implies 2^x = 2^{-2} \implies x_2 = -2 \)

Ответ: \( x_1 = -1 \); \( x_2 = -2 \)

Шаг 1: Приведем все к основанию \( \frac{1}{2} \), заметив, что \( \left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2 \):

• \( \left(\frac{1}{2}\right)^x + \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2 - 6 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену: \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \), где \( y > 0 \).

• \( y + y^2 - 6 = 0 \)
• \( y^2 + y - 6 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = -1 \), \( y_1 y_2 = -6 \)
• Корни: \( y_1 = 2 \), \( y_2 = -3 \). Отрицательный корень \( y_2 = -3 \) отбрасываем.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

• Случай 1: \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2 \implies 2^{-x} = 2^1 \implies -x = 1 \implies x = -1 \)

Ответ: \( x = -1 \)

Шаг 1: Введем замену: \( y = 13^x \), где \( y > 0 \). Заметим, что \( 13^{2x} = (13^x)^2 \).

• \( y^2 - y - 12 = 0 \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

• По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 1 \), \( y_1 y_2 = -12 \)
• Корни: \( y_1 = 4 \), \( y_2 = -3 \). Отрицательный корень \( y_2 = -3 \) отбрасываем.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

• Случай 1: \( 13^x = 4 \implies x = \log_{13} 4 \)

Ответ: \( x = \log_{13} 4 \)

Шаг 1: Введем замену: \( y = 3^x \), где \( y > 0 \).

• \( y^2 + 10y + 3 = 0 \)

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = 10^2 - 4(1)(3) = 100 - 12 = 88 \)
• Корни: \( y = \frac{-10 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{22}}{2} = -5 \pm \sqrt{22} \)

Шаг 3: Проверяем положительность корней: \( \sqrt{22} \approx 4,69 \).

• \( y_1 = -5 + \sqrt{22} \approx -0,31 \). \( y_1 < 0 \). Отбрасываем.
• \( y_2 = -5 - \sqrt{22} \). \( y_2 < 0 \). Отбрасываем.

Так как оба корня отрицательны, обратная замена невозможна, поскольку \( y = 3^x \) должно быть положительным.

Ответ: Корней нет

Шаг 1: Приведем в порядок и представим степени в виде степеней \( 2^x \):

• \( (2^x)^3 - 6 \cdot (2^x)^2 + 8 \cdot 2^x = 0 \)

Шаг 2: Введем замену: \( y = 2^x \), где \( y > 0 \). Вынесем общий множитель \( y \):

• \( y^3 - 6y^2 + 8y = 0 \)
• \( y (y^2 - 6y + 8) = 0 \)

Шаг 3: Находим корни:

• Корень 1: \( y_1 = 0 \). Отбрасываем, так как \( y > 0 \).
• Решаем квадратное уравнение \( y^2 - 6y + 8 = 0 \).
  По теореме Виета: \( y_2 + y_3 = 6 \), \( y_2 y_3 = 8 \).
  Корни: \( y_2 = 4 \), \( y_3 = 2 \). Оба корня положительны.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

• Случай 1: \( 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_1 = 2 \)
• Случай 2: \( 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x_2 = 1 \)

Ответ: \( x_1 = 2 \); \( x_2 = 1 \)

Шаг 1: Приведем в порядок и представим степени в виде степеней \( 5^x \):

• \( (5^x)^3 - 7 \cdot (5^x)^2 + 34 \cdot 5^x = 0 \)

Шаг 2: Введем замену: \( y = 5^x \), где \( y > 0 \). Вынесем общий множитель \( y \):

• \( y^3 - 7y^2 + 34y = 0 \)
• \( y (y^2 - 7y + 34) = 0 \)

Шаг 3: Находим корни:

• Корень 1: \( y_1 = 0 \). Отбрасываем.
• Решаем квадратное уравнение \( y^2 - 7y + 34 = 0 \).
  Дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4(1)(34) = 49 - 136 = -87 \).

Так как \( D < 0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, других положительных корней, кроме отброшенного \( y_1 = 0 \), нет.

Ответ: Корней нет