ГДЗ: Упражнение 210 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Объединим степени с одинаковым основанием 0,5:
\( 7 \cdot 0,5^{x + (1-2x)} = 2 \)
\( 7 \cdot 0,5^{1-x} = 2 \)
Шаг 2: Разделим на 7 и приведем к основанию 2 (\( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \)):
\( 0,5^{1-x} = \frac{2}{7} \)
\( (2^{-1})^{1-x} = \frac{2}{7} \)
\( 2^{-(1-x)} = \frac{2}{7} \)
\( 2^{x-1} = \frac{2}{7} \)
Шаг 3: Выразим \( 2^x \):
\( \frac{2^x}{2^1} = \frac{2}{7} \)
\( 2^x = 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \)
Шаг 4: Найдем \( x \) с помощью логарифма:
\( x = \log_2 \left(\frac{4}{7}\right) \)
\( x = \log_2 4 - \log_2 7 \)
\( x = 2 - \log_2 7 \)
Ответ: \( x = 2 - \log_2 7 \)
5)
\( 0,6^{x+1} \cdot 0,6^{x^2} = 0,6^{2x} \)
Ответ
Шаг 1: Объединим степени с одинаковым основанием 0,6:
\( 0,6^{x+1+x^2} = 0,6^{2x} \)
Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:
\( x^2 + x + 1 = 2x \)
\( x^2 - x + 1 = 0 \)
Шаг 3: Находим дискриминант:
\( D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \)
Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Корней нет
6)
\( 6^{3x} \cdot \frac{1}{6} = 6^{2x} \)
Ответ
Шаг 1: Представим \( \frac{1}{6} \) как \( 6^{-1} \) и объединим степени:
\( 6^{3x} \cdot 6^{-1} = 6^{2x} \)
\( 6^{3x - 1} = 6^{2x} \)
Шаг 2: Приравниваем показатели:
\( 3x - 1 = 2x \)
Шаг 3: Решаем линейное уравнение:
\( x = 1 \)
Ответ: \( x = 1 \)
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
