ГДЗ: Упражнение 225 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Перенесем все в левую часть и приведем к виду квадратного уравнения:
\( (5^x)^2 - 4 \cdot 5^x + 4 = 0 \)
Шаг 2: Введем замену: \( y = 5^x \), где \( y > 0 \).
\( y^2 - 4y + 4 = 0 \)
Шаг 3: Уравнение является полным квадратом:
\( (y - 2)^2 = 0 \)
Корень: \( y = 2 \). Корень положительный.
Шаг 4: Выполняем обратную замену:
\( 5^x = 2 \implies x = \log_5 2 \)
Ответ: \( x = \log_5 2 \)
3)
\( 2^{x^2} = 3^{x^2} \)
Ответ
Шаг 1: Разделим обе части на \( 3^{x^2} \):
\( \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2} = 1 \)
Шаг 2: Приравниваем показатель к нулю:
\( x^2 = 0 \)
\( x = 0 \)
Ответ: \( x = 0 \)
4)
\( 9^{\sqrt{x-1}} = \frac{1}{27} \)
Ответ
Шаг 1: Приведем обе части к основанию 3, учитывая ОДЗ: \( x - 1 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1 \).
\( 9 = 3^2 \), \( \frac{1}{27} = 3^{-3} \)
\( (3^2)^{\sqrt{x-1}} = 3^{-3} \)
\( 3^{2\sqrt{x-1}} = 3^{-3} \)
Шаг 2: Приравниваем показатели:
\( 2\sqrt{x-1} = -3 \)
Шаг 3: Так как арифметический корень \( \sqrt{x-1} \ge 0 \), то левая часть \( 2\sqrt{x-1} \ge 0 \). Правая часть равна -3, что отрицательно. Равенство невозможно.
Ответ: Корней нет
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
