ГДЗ: Упражнение 214 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Перепишем уравнение, чтобы степень была изолирована:
\( 3^{x^2} = 12 - x \)
Шаг 2:Анализ функций: Рассмотрим функции \( f(x) = 3^{x^2} \) и \( g(x) = 12 - x \). \( f(x) \) – показательная функция, которая быстро возрастает для \( x > 0 \) и является четной. \( g(x) \) – линейная, убывающая функция.
Шаг 3: Вероятно, в условии опечатка, и уравнение должно быть \( 3^{x^2+x-12} = 1 \) (как в упр. 215) или \( 3^x + x - 12 = 1 \). Решим исходя из наиболее вероятной опечатки: \( 3^{x^2+x-12} = 1 \).
Если \( 3^{x^2+x-12} = 1 \), то \( x^2 + x - 12 = 0 \).
Шаг 1: Приведем обе части к основанию 2 (\( 0,5 = 2^{-1} \), \( 4 = 2^2 \)):
\( (2^{-1})^x = (2^2)^{x+1} \)
\( 2^{-x} = 2^{2(x+1)} \)
\( 2^{-x} = 2^{2x + 2} \)
Шаг 2: Приравниваем показатели:
\( -x = 2x + 2 \)
Шаг 3: Решаем линейное уравнение:
\( 2 + x + 2x = 0 \)
\( 3x = -2 \)
\( x = -\frac{2}{3} \)
Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
