ГДЗ: Упражнение 219 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 3: Так как \( 6^0 = 1 \), приравниваем показатель к нулю:
\( x - 3 = 0 \)
\( x = 3 \)
Ответ: \( x = 3 \)
3)
\( 5^{x+2} = 3^x \)
Ответ
Шаг 1: Разделим на \( 3^x \) и разложим левую часть:
\( 5^x \cdot 5^2 = 3^x \)
\( 25 \cdot 5^x = 3^x \)
\( 25 = \frac{3^x}{5^x} \)
\( \left(\frac{3}{5}\right)^x = 25 \)
Шаг 2: Используем логарифм по основанию \( \frac{3}{5} \):
\( x = \log_{3/5} 25 \)
Ответ: \( x = \log_{3/5} 25 \)
4)
\( 4^{x-2} = 3^{2-x} \)
Ответ
Шаг 1: Заметим, что \( 2-x = -(x-2) \). Уравнение можно записать как:
\( 4^{x-2} = 3^{-(x-2)} \)
\( 4^{x-2} = \frac{1}{3^{x-2}} \)
Шаг 2: Умножим на \( 3^{x-2} \):
\( 4^{x-2} \cdot 3^{x-2} = 1 \)
\( (4 \cdot 3)^{x-2} = 1 \)
\( 12^{x-2} = 1 \)
Шаг 3: Приравниваем показатели:
\( x - 2 = 0 \)
\( x = 2 \)
Ответ: \( x = 2 \)
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
