ГДЗ: Упражнение 221 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 2: Условие для существования решения: \( 2x + 4 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \).
Шаг 3: Раскрываем модуль:
Случай 1: \( x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \). \( x - 2 = 2x + 4 \implies -2 - 4 = 2x - x \implies x = -6 \). \( x = -6 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 2 \). Решений нет.
Случай 2: \( x - 2 < 0 \implies x < 2 \). \( -(x - 2) = 2x + 4 \implies -x + 2 = 2x + 4 \implies 2 - 4 = 3x \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \). \( x = -\frac{2}{3} \) удовлетворяет условиям \( x < 2 \) и \( x \ge -2 \). Решение подходит.
Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \)
2)
\( 1,5^{5-x} = 1,5^{|x-1|} \)
Ответ
Шаг 1: Приравниваем показатели:
\( 5 - x = |x - 1| \)
Шаг 2: Условие для существования решения: \( 5 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 5 \).
Шаг 3: Раскрываем модуль:
Случай 1: \( x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \). \( 5 - x = x - 1 \implies 6 = 2x \implies x = 3 \). \( x = 3 \) удовлетворяет условиям \( 1 \le 3 \le 5 \). Решение подходит.
Случай 2: \( x - 1 < 0 \implies x < 1 \). \( 5 - x = -(x - 1) \implies 5 - x = -x + 1 \implies 5 = 1 \). Это неверное равенство. Решений нет.
Ответ: \( x = 3 \)
3)
\( 3^{|x+1|} = 3^{2|x-1|} \)
Ответ
Шаг 1: Приравниваем показатели:
\( |x+1| = 2|x-1| \)
Шаг 2: Возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от модулей (или рассматриваем 3 интервала):
Шаг 2: Решаем, используя свойство \( |a| = |b| \iff a = b \) или \( a = -b \):
Случай 1: \( x = 2x - 1 \implies 1 = 2x - x \implies x_1 = 1 \)
Случай 2: \( x = -(2x - 1) \implies x = -2x + 1 \implies 3x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{3} \)
Ответ: \( x_1 = 1 \); \( x_2 = \frac{1}{3} \)
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
