ГДЗ: Упражнение 213 - Параграф § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

213 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 \)

Ответ

Шаг 1: Приведем все к основанию 3, заметив, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \):

\( (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену переменной: \( y = 3^x \). Учитывая, что \( 3^x > 0 \), то \( y > 0 \).

\( y^2 - 4y + 3 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант):

Сумма корней: \( y_1 + y_2 = 4 \); Произведение корней: \( y_1 y_2 = 3 \)
Корни: \( y_1 = 3 \), \( y_2 = 1 \). Оба корня положительны.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

Случай 1: \( 3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x_1 = 1 \)
Случай 2: \( 3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x_2 = 0 \)

Ответ: \( x_1 = 1 \); \( x_2 = 0 \)

2) \( 16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0 \)

Ответ

Шаг 1: Приведем все к основанию 4, заметив, что \( 16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 \):

\( (4^x)^2 - 17 \cdot 4^x + 16 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену переменной: \( y = 4^x \), где \( y > 0 \).

\( y^2 - 17y + 16 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

Сумма корней: \( y_1 + y_2 = 17 \); Произведение корней: \( y_1 y_2 = 16 \)
Корни: \( y_1 = 16 \), \( y_2 = 1 \). Оба корня положительны.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

Случай 1: \( 4^x = 16 \implies 4^x = 4^2 \implies x_1 = 2 \)
Случай 2: \( 4^x = 1 \implies 4^x = 4^0 \implies x_2 = 0 \)

Ответ: \( x_1 = 2 \); \( x_2 = 0 \)

3) \( 25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \)

Ответ

Шаг 1: Приведем все к основанию 5, заметив, что \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \):

\( (5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену переменной: \( y = 5^x \), где \( y > 0 \).

\( y^2 - 6y + 5 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

Сумма корней: \( y_1 + y_2 = 6 \); Произведение корней: \( y_1 y_2 = 5 \)
Корни: \( y_1 = 5 \), \( y_2 = 1 \). Оба корня положительны.

Шаг 4: Выполняем обратную замену:

Случай 1: \( 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_1 = 1 \)
Случай 2: \( 5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x_2 = 0 \)

Ответ: \( x_1 = 1 \); \( x_2 = 0 \)

4) \( 64^x - 8^x - 56 = 0 \)

Ответ

Шаг 1: Приведем все к основанию 8, заметив, что \( 64^x = (8^2)^x = (8^x)^2 \):

\( (8^x)^2 - 8^x - 56 = 0 \)

Шаг 2: Введем замену переменной: \( y = 8^x \), где \( y > 0 \).

\( y^2 - y - 56 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

Сумма корней: \( y_1 + y_2 = 1 \); Произведение корней: \( y_1 y_2 = -56 \)
Корни: \( y_1 = 8 \), \( y_2 = -7 \).

Шаг 4: Выполняем обратную замену, отбрасывая отрицательный корень (\( y_2 = -7 \) не подходит, так как \( 8^x > 0 \)):

Случай 1: \( 8^x = 8 \implies 8^x = 8^1 \implies x = 1 \)

Ответ: \( x = 1 \)

Что применять при решении

Основное свойство показательных уравнений

Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

\( a^x = a^b \iff x = b \)

Метод замены переменной (сведение к квадратному)

Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).

\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)

Уравнения, решаемые логарифмированием / делением

Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).

\( a^x = b^x \implies \left(\frac{a}{b}\right)^x = 1 \implies x = 0 \)

Другие упражнения из параграфа § 12

208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 225 226 227

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 3
Параграф: § 12 — Показательные уравнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.