ГДЗ: Упражнение 220 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Основания равны (0,5). Приравниваем показатели:

• \( x^2 - 4x + 3 = 2x - 3 \)

Шаг 2: Сводим к квадратному уравнению:

• \( x^2 - 6x + 6 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 \)
• Корни: \( x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} \)
• \( x = 3 \pm \sqrt{3} \)

Ответ: \( x_1 = 3 + \sqrt{3} \); \( x_2 = 3 - \sqrt{3} \)

Шаг 1: Основания равны (0,1). Приравниваем показатели:

• \( 3x^2 + 2x = x^2 \)

Шаг 2: Сводим к квадратному уравнению:

• \( 2x^2 + 2x = 0 \)
• \( 2x (x + 1) = 0 \)

Шаг 3: Находим корни:

• \( x_1 = 0 \)
• \( x_2 = -1 \)

Ответ: \( x_1 = 0 \); \( x_2 = -1 \)

Шаг 1: Приравниваем показатели, учитывая ОДЗ: \( x - 6 \ge 0 \), то есть \( x \ge 6 \).

• \( \sqrt{x-6} = x \)

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат:

• \( x - 6 = x^2 \)
• \( x^2 - x + 6 = 0 \)

Шаг 3: Находим дискриминант:

• \( D = (-1)^2 - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23 \)

Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корней нет

Шаг 1: Приравниваем показатели, учитывая ОДЗ: \( 2 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 2 \). Также, поскольку мы приравниваем корень к \( x \), необходимо условие \( x \ge 0 \). Итого: \( 0 \le x \le 2 \).

• \( \sqrt{2-x} = x \)

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат, при условии \( x \ge 0 \):

• \( 2 - x = x^2 \)
• \( x^2 + x - 2 = 0 \)

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

• По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \), \( x_1 x_2 = -2 \)
• Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2 \)

Шаг 4: Проверяем корни по условию \( 0 \le x \le 2 \):

• \( x_1 = 1 \): \( 0 \le 1 \le 2 \). Подходит.
• \( x_2 = -2 \): \( -2 < 0 \). Не подходит.

Ответ: \( x = 1 \)