ГДЗ: Упражнение 216 - § 12 (Показательные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Приведем левую часть к основанию 10 (\( \sqrt{10} = 10^{1/2} \)):
\( (10^{1/2})^x = 10^{x^2} \)
\( 10^{x/2} = 10^{x^2} \)
Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:
\( \frac{x}{2} = x^2 \)
\( x^2 - \frac{x}{2} = 0 \)
\( x (x - \frac{1}{2}) = 0 \)
Шаг 3: Находим корни:
\( x_1 = 0 \)
\( x_2 = \frac{1}{2} \)
Ответ: \( x_1 = 0 \); \( x_2 = 0,5 \)
6)
\( 100^{x^2-1} = 10^{1-5x} \)
Ответ
Примечание: Данное уравнение совпадает с упражнением 215 (4).
Шаг 1: Приведем обе части к основанию 10 (\( 100 = 10^2 \)):
\( (10^2)^{x^2-1} = 10^{1-5x} \)
\( 10^{2x^2 - 2} = 10^{1-5x} \)
Шаг 2: Приравниваем показатели и сводим к квадратному уравнению:
\( 2x^2 - 2 = 1 - 5x \)
\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант: \( D = 49 \)
Корни: \( x = \frac{-5 \pm 7}{4} \)
\( x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \)
Ответ: \( x_1 = \frac{1}{2} \); \( x_2 = -3 \)
Что применять при решении
Основное свойство показательных уравнений
Показательное уравнение \( a^x = a^b \), где \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \), равносильно алгебраическому уравнению \( x = b \). Это основано на том, что степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
\( a^x = a^b \iff x = b \)
Метод замены переменной (сведение к квадратному)
Уравнения вида \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \) решаются путем замены \( y = a^x \). При этом \( y \) всегда должно быть положительным, так как \( a^x > 0 \) для любого \( x \). Уравнение сводится к квадратному \( A y^2 + B y + C = 0 \).
\( A \cdot (a^{2x}) + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{y = a^x, y > 0} A y^2 + B y + C = 0 \)
Уравнения, решаемые логарифмированием / делением
Уравнения вида \( a^x = b^x \) (где \( a, b > 0 \)) решаются делением обеих частей на \( b^x \), что приводит к \( (\frac{a}{b})^x = 1 \). Поскольку \( (\frac{a}{b})^0 = 1 \), то решение, если \( a \ne b \), всегда \( x = 0 \). Если же уравнение имеет вид \( a^x = b \) и \( a \ne b \), то решение находится через логарифм: \( x = \log_a b \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
