ГДЗ: Упражнение 409 - Параграф § 21 (Радианная мера угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

409 упражнение:

(Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:

а) равностороннего треугольника;

Ответ

Пояснение:

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и их сумма равна \( 180^{\circ} \).

Градусная мера: \( \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ} \).

Радианная мера: Переводим \( 60^{\circ} \) в радианы: \( 60^{\circ} = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) рад.

Ответ: Градусная мера — \( 60^{\circ} \), радианная мера — \( \frac{\pi}{3} \) рад.

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;

Ответ

Пояснение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен \( 90^{\circ} \) (или \( \frac{\pi}{2} \) рад).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике два острых угла равны между собой. Сумма острых углов равна \( 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Градусная мера острых углов: \( \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

Радианная мера: \( 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \) рад, \( 45^{\circ} = \frac{45 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{4} \) рад.

Ответ: Градусная мера — \( 90^{\circ} \) и \( 45^{\circ} \), радианная мера — \( \frac{\pi}{2} \) рад и \( \frac{\pi}{4} \) рад.

в) квадрата;

Ответ

Пояснение:

Квадрат имеет 4 прямых угла.

Градусная мера: \( 90^{\circ} \).

Радианная мера: Переводим \( 90^{\circ} \) в радианы: \( 90^{\circ} = \frac{90 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{2} \) рад.

Ответ: Градусная мера — \( 90^{\circ} \), радианная мера — \( \frac{\pi}{2} \) рад.

г) правильного шестиугольника.

Ответ

Пояснение:

Сумма внутренних углов правильного \( n \)-угольника равна \( (n-2) \cdot 180^{\circ} \). Для шестиугольника (\( n=6 \)): \( (6-2) \cdot 180^{\circ} = 4 \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ} \).

В правильном шестиугольнике все 6 углов равны.

Градусная мера: \( \frac{720^{\circ}}{6} = 120^{\circ} \).

Радианная мера: Переводим \( 120^{\circ} \) в радианы: \( 120^{\circ} = \frac{120 \cdot \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \) рад.

Ответ: Градусная мера — \( 120^{\circ} \), радианная мера — \( \frac{2\pi}{3} \) рад.

Что применять при решении

Соотношение между градусной и радианной мерой угла

Формула для перевода радианной меры угла ( \( \alpha \) ) в градусную ( \( x^{\circ} \) ) и наоборот. Угол в \( 180^{\circ} \) соответствует \( \pi \) радиан.

\( \frac{\alpha}{\pi} = \frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi \cdot x^{\circ}}{180^{\circ}} \text{ и } x^{\circ} = \frac{180^{\circ} \cdot \alpha}{\pi} \)

Длина дуги окружности

Длина дуги ( \( l \) ) окружности радиуса \( R \), соответствующая центральному углу \( \alpha \) в радианах.

\( l = R \cdot \alpha \)

Площадь кругового сектора

Площадь сектора ( \( S \) ) окружности радиуса \( R \), соответствующая центральному углу \( \alpha \) в радианах. Из учебника: площадь сектора в \( \alpha \) рад равна \( \frac{R^2 \alpha}{2} \).

\( S = \frac{1}{2} R^2 \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 21

407 408 409 410 411 412 413 414 415

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 21 — Радианная мера угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.