ГДЗ: Упражнение 720 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
(Устно.) Выяснить, при каких значениях \( x \), принадлежащих отрезку \( [0; 3\pi] \), функция \( y = \sin x \) принимает:
1)
значение, равное \( 0 \), \( 1 \), \( -1 \);
Ответ
Решение:
Используем график функции \( y = \sin x \) на отрезке \( [0; 3\pi] \), который включает полтора периода.
1. Значение \( \sin x = 0 \):
Это абсциссы точек пересечения синусоиды с осью \( Ox \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \) это значения \( x = 0 \), \( x = \pi \), \( x = 2\pi \), \( x = 3\pi \).
2. Значение \( \sin x = 1 \):
Это абсциссы точек, в которых функция достигает своего максимального значения.
На отрезке \( [0; 3\pi] \) это значения \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \).
3. Значение \( \sin x = -1 \):
Это абсциссы точек, в которых функция достигает своего минимального значения.
На отрезке \( [0; 3\pi] \) это значения \( x = \frac{3\pi}{2} \).
Ответ:
\( \sin x = 0 \) при \( x \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi\} \).
\( \sin x = 1 \) при \( x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\} \).
\( \sin x = -1 \) при \( x = \frac{3\pi}{2} \).
2)
положительные значения;
Ответ
Решение:
Функция \( y = \sin x \) принимает положительные значения (\( \sin x > 0 \)) на тех промежутках, где график лежит выше оси \( Ox \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \) синус положителен в интервалах \( (0; \pi) \) и \( (2\pi; 3\pi) \).
Ответ:
\( \sin x > 0 \) при \( x \in (0; \pi) \cup (2\pi; 3\pi) \).
3)
отрицательные значения.
Ответ
Решение:
Функция \( y = \sin x \) принимает отрицательные значения (\( \sin x < 0 \)) на тех промежутках, где график лежит ниже оси \( Ox \).
На отрезке \( [0; 3\pi] \) синус отрицателен в интервале \( (\pi; 2\pi) \).
Ответ:
\( \sin x < 0 \) при \( x \in (\pi; 2\pi) \).
Что применять при решении
Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).
\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)
Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
