ГДЗ: Упражнение 723 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Используя свойство возрастания или убывания функции \( y = \sin x \), сравнить числа:
1)
\( \sin \frac{7\pi}{10} \) и \( \sin \frac{13\pi}{10} \);
Ответ
Решение:
Шаг 1: Определим четверти и расположение углов.
Угол \( \frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10} \). Так как \( 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \), то \( \frac{7\pi}{10} \) лежит во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \pi \)), где \( \sin x > 0 \).
Угол \( \frac{13\pi}{10} = \pi + \frac{3\pi}{10} \). Так как \( 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \), то \( \frac{13\pi}{10} \) лежит в III четверти (\( \pi < \frac{13\pi}{10} < \frac{3\pi}{2} \)), где \( \sin x < 0 \).
Шаг 2: Сравнение по знаку.
Так как \( \sin \frac{7\pi}{10} > 0 \) и \( \sin \frac{13\pi}{10} < 0 \), то \( \sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10} \).
Оба угла \( \frac{11\pi}{7} \approx 1.57\pi \) и \( \frac{13\pi}{7} \approx 1.86\pi \) находятся на промежутке \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \), так как \( \frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7} \).
Шаг 2: Сравнение по монотонности.
На промежутке \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
Отрезок \( [-2\pi; -\pi] \) разбивается на промежуток возрастания \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \) и промежуток убывания \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \).
Так как \( -\frac{3\pi}{2} = -\frac{10.5\pi}{7} \), то оба угла \( -\frac{9\pi}{7} \) и \( -\frac{8\pi}{7} \) находятся на промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \approx [-1.5\pi; -\pi] \).
Шаг 2: Сравнение по монотонности.
На промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Так как \( -\frac{9\pi}{7} < -\frac{8\pi}{7} \) и функция убывает, то меньшему аргументу соответствует большее значение функции: \( \sin (-\frac{9\pi}{7}) > \sin (-\frac{8\pi}{7}) \).
Оба числа \( 6 \) и \( 7 \) лежат на отрезке \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \approx [6.28; 7.85] \).
Упорядочим аргументы: \( 6 < 7 \).
Шаг 2: Сравнение по монотонности.
Отрезок \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \) является промежутком возрастания функции \( y = \sin x \).
Так как \( 6 < 7 \) и функция возрастает, то \( \sin 6 < \sin 7 \).
Ответ:
\( \sin 7 > \sin 6 \).
Что применять при решении
Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).
\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)
Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
