ГДЗ: Упражнение 721 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
(Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция \( y = \sin x \) на промежутке:
1)
\( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \);
Ответ
Решение:
Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках вида \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках вида \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Промежуток \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) является частью промежутка возрастания \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi; \frac{\pi}{2} + 2\pi] = [\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] \).
Следовательно, на отрезке \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
Ответ:
Возрастает.
2)
\( (\frac{\pi}{2}; \pi) \);
Ответ
Решение:
Промежуток \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \) является частью промежутка убывания \( [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \).
Следовательно, на интервале \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Ответ:
Убывает.
3)
\( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \);
Ответ
Решение:
Промежуток \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \) является частью промежутка убывания \( [\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{3\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}] \).
Следовательно, на интервале \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Ответ:
Убывает.
4)
\( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \);
Ответ
Решение:
Промежуток \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \) является частью промежутка убывания \( [-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}] \).
Следовательно, на отрезке \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Часть интервала убывания \( [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] \approx [1.57; 4.71] \).
Поскольку \( 2 \in (\frac{\pi}{2}; \pi] \) и \( 4 \in [\pi; \frac{3\pi}{2}] \), то на отрезке \( [2; \pi] \) функция убывает, а на отрезке \( [\pi; 4] \) функция также убывает.
Следовательно, на всем отрезке \( [2; 4] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
Часть интервала возрастания \( [\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] \approx [4.71; 7.85] \).
Так как \( 6 > \frac{3\pi}{2} \) и \( 7 < \frac{5\pi}{2} \), то интервал \( (6; 7) \) находится внутри промежутка возрастания \( [\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] \).
Следовательно, на интервале \( (6; 7) \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
Ответ:
Возрастает.
Что применять при решении
Определение синуса и график функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом \( 2\pi \). График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Значения функции принадлежат отрезку \( [-1; 1] \).
\( \sin x = \sin (x + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} \)
Промежутки возрастания и убывания функции \( y = \sin x \)
Функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезках \( [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) и убывает на отрезках \( [\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
Если функция \( y = \sin x \) возрастает на отрезке \( [a; b] \) и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 < \sin x_2 \). Если функция убывает и \( x_1 < x_2 \in [a; b] \), то \( \sin x_1 > \sin x_2 \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
